Maximum likelihood or restricted maximum likelihood (REML) estimates of the parameters in linear mixed-effects models can be determined using the lmer function in the lme4 package for R. As for most model-fitting functions in R, the model is described in an lmer call by a formula, in this case including both fixed- and random-effects terms. The formula and data together determine a numerical representation of the model from which the profiled deviance or the profiled REML criterion can be evaluated as a function of some of the model parameters. The appropriate criterion is optimized, using one of the constrained optimization functions in R, to provide the parameter estimates. We describe the structure of the model, the steps in evaluating the profiled deviance or REML criterion, and the structure of classes or types that represents such a model. Sufficient detail is included to allow specialization of these structures by users who wish to write functions to fit specialized linear mixed models, such as models incorporating pedigrees or smoothing splines, that are not easily expressible in the formula language used by lmer.

Dramatic changes in patterns of epidemics have been observed throughout this century. For childhood infectious diseases such as measles, the major transitions are between regular cycles and irregular, possibly chaotic epidemics, and from regionally synchronized oscillations to complex, spatially incoherent epidemics. A simple model can explain both kinds of transitions as the consequences of changes in birth and vaccination rates. Measles is a natural ecological system that exhibits different dynamical transitions at different times and places, yet all of these transitions can be predicted as bifurcations of a single nonlinear model.

Abstract Parasites are important determinants of ecological dynamics. Despite the widespread perception that parasites (in the broad sense, including microbial pathogens) threaten species with extinction, the simplest deterministic models of parasite dynamics (i.e. of specialist parasites with density‐dependent transmission) predict that parasites will always go extinct before their hosts. We review the primary theoretical mechanisms that allow disease‐induced extinction and compare them with the empirical literature on parasitic threats to populations to assess the importance of different mechanisms in threatening natural populations. Small pre‐epidemic population size and the presence of reservoirs are the most commonly cited factors for disease‐induced extinction in empirical studies.

A plant lineage can compete for resources in a spatially variable environment by colonizing new areas, exploiting resources in those areas quickly before other plants arrive to compete with it, or tolerating competition once other plants do arrive. These specializations are ubiquitous in plant communities, but all three have never been derived from a spatial model of community dynamics-instead, the possibility of rapid exploitation has been either overlooked or confounded with colonization. We use moment equations, equations for the mean densities and spatial covariance of competing plant populations, to characterize these strategies in a fully spatial stochastic model. The moment equations predict endogenous spatial pattern formation and the efficacy of spatial strategies under different conditions. The model shows that specializations for colonization, exploitation, and tolerance are all possible, and these are the only possible spatial strategies; among them, they partition all of the endogenous spatial structure in the environment. The model predicts two distinct short-dispersal specializations where parents disperse their offspring locally, either to exploit empty patches quickly or to fill patches to exclude competitors.

Spatial patterns in biological populations and the effect of spatial patterns on ecological interactions are central topics in mathematical ecology. Various approaches to modeling have been developed to enable us to understand spatial patterns ranging from plant distributions to plankton aggregation. We present a new approach to modeling spatial interactions by deriving approximations for the time evolution of the moments (mean and spatial covariance) of ensembles of distributions of organisms; the analysis is made possible by “moment closure,” neglecting higher-order spatial structure in the population. We use the growth and competition of plants in an explicitly spatial environment as a starting point for exploring the properties of second-order moment equations and comparing them to realizations of spatial stochastic models. We find that for a wide range of effective neighborhood sizes (each plant interacting with several to dozens of neighbors), the mean-covariance model provides a useful and analytically tractable approximation to the stochastic spatial model, and combines useful features of stochastic models and traditional reaction-diffusion-like models.

To understand the impact of spatial heterogeneity of environment and movement of individuals on the persistence and extinction of a disease, a spatial SIS reaction-diffusion model is studied, with the focus on the existence, uniqueness and particularly the asymptotic profile of the steady-states. First, the basic reproduction number $\R_{0}$ is defined for this SIS PDE model. It is shown that if $\R_{0} 1$, the disease-free equilibrium is unstable and there is a unique endemic equilibrium. A domain is called high (low) risk if the average of the transmission rates is greater (less) than the average of the recovery rates. It is shown that the disease-free equilibrium is always unstable $(\R_{0} > 1)$ for high-risk domains. For low-risk domains, the disease-free equilibrium is stable $(\R_{0} < 1)$ if and only if infected individuals have mobility above a threshold value. The endemic equilibrium tends to a spatially inhomogeneous disease-free equilibrium as the mobility of susceptible individuals tends to zero. Surprisingly, the density of susceptibles for this limiting disease-free equilibrium, which is always positive on the subdomain where the transmission rate is less than the recovery rate, must also be positive at some (but not all) places where the transmission rates exceed the recovery rates.

Habitat fragmentation threatens biodiversity by disrupting dispersal. The mechanisms and consequences of this disruption are controversial, primarily because most organisms are difficult to track. We examined the effect of habitat corridors on long-distance dispersal of seeds by birds, and tested whether small-scale (<20 meters) movements of birds could be scaled up to predict dispersal of seeds across hundreds of meters in eight experimentally fragmented landscapes. A simulation model accurately predicted the observed pattern of seed rain and revealed that corridors functioned through edge-following behavior of birds. Our study shows how models based on easily observed behaviors can be scaled up to predict landscape-level processes.

Information-theoretic (IT) and multi-model averaging (MMA) statistical approaches are widely used but suboptimal tools for pursuing a multifactorial approach (also known as the method of multiple working hypotheses) in ecology. (1) Conceptually, IT encourages ecologists to perform tests on sets of artificially simplified models. (2) MMA improves on IT model selection by implementing a simple form of shrinkage estimation (a way to make accurate predictions from a model with many parameters relative to the amount of data, by “shrinking” parameter estimates toward zero). However, other shrinkage estimators such as penalized regression or Bayesian hierarchical models with regularizing priors are more computationally efficient and better supported theoretically. (3) In general, the procedures for extracting confidence intervals from MMA are overconfident, providing overly narrow intervals. If researchers want to use limited data sets to accurately estimate the strength of multiple competing ecological processes along with reliable confidence intervals, the current best approach is to use full (maximal) statistical models (possibly with Bayesian priors) after making principled, a priori decisions about model complexity.

A growing number of single nucleotide polymorphisms (SNPs) have been associated with body mass index (BMI) and obesity, but whether the effect of these obesity susceptibility loci is uniform across the BMI distribution remains unclear. We studied the effects of 37 BMI/obesity-associated SNPs in 75,230 adults of European ancestry along BMI percentiles using conditional quantile regression (CQR) and meta-regression (MR) models. The effects of 9 SNPs (24%) increased significantly across the sample BMI distribution including, FTO (rs1421085, p=8.69x10-15), PCSK1 (rs6235, p=7.11x10-06), TCF7L2 (rs7903146, p=9.60x10-06), MC4R (rs11873305, p=5.08x10-05), FANCL (rs12617233, p=5.30x10-05), GIPR (rs11672660, p=1.64x10-04), MAP2K5 (rs997295, p=3.25x10-04), FTO (rs6499653, p=6.23x10-04) and NT5C2 (rs3824755, p=7.90x10-04). We showed that such increases stem from unadjusted gene interactions that enhanced the effects of SNPs in persons with high BMI. When 125 height-associated were analyzed for comparison, only one (<1%), IGF1 (rs6219, p=1.80x10-04), showed effects that varied significantly across height percentiles. Cumulative gene scores of these SNPs (GS-BMI and GS-Height, respectively) showed that only GS-BMI had effects that increased significantly across the sample distribution (BMI: p=7.03x10-37, Height: p=0.499). Overall, these findings underscore the importance of gene-gene and gene-environment interactions in shaping the genetic architecture of BMI and advance a method to detect such interactions using only the sample outcome distribution.

Sexual reproduction persists in nature despite its large cost. The Red Queen Hypothesis postulates that parasite pressure maintains sexual reproduction in the host population by selecting for the ability to produce rare genotypes that are resistant to infection. Mathematical models have been used to lay theoretical foundations for the hypothesis; empirical studies have confirmed these predictions. For example, Lively used a simple host-parasite model to predict that the frequency of sexual hosts should be positively correlated with the prevalence of infection. Lively et al. later confirmed the prediction through numerous field studies of snail-trematode systems in New Zealand. In this study, we fit a simple metapopulation host-parasite coevolution model to three data sets, each representing a different snail-trematode system, by matching the observed prevalence of sexual reproduction and trematode infection among hosts. Using the estimated parameters, we perform a power analysis to test the feasibility of observing the positive correlation predicted by Lively. We discuss anomalies in the data that are poorly explained by the model and provide practical guidance to both modelers and empiricists. Overall, our study suggests that a simple Red Queen model can only partially explain the observed relationships between parasite infection and the maintenance of sexual reproduction.