Abstract Sleep timing varies between individuals and can be altered in mental and physical health conditions. Sleep and circadian sleep phenotypes, including circadian rhythm sleep-wake disorders, may be driven by endogenous physiological processes, exogeneous environmental light exposure along with social constraints and behavioural factors. Identifying the relative contributions of these driving factors to different phenotypes is essential for the design of personalised interventions. The timing of the human sleep-wake cycle has been modelled as an interaction of a relaxation oscillator (the sleep homeostat), a stable limit cycle oscillator with a near 24-hour period (the circadian process), man-made light exposure and the natural light-dark cycle generated by the Earth’s rotation. However, these models have rarely been used to quantitatively describe sleep at the individual level. Here, we present a new Homeostatic-Circadian-Light model (HCL) which is simpler, more transparent and more computationally efficient than other available models and is designed to run using longitudinal sleep and light exposure data from wearable sensors. We carry out a systematic sensitivity analysis for all model parameters and discuss parameter identifiability. We demonstrate that individual sleep phenotypes in each of 34 older participants (65-83y) can be described by feeding individual participant light exposure patterns into the model and fitting two parameters that capture individual average sleep duration and timing. The fitted parameters describe endogenous drivers of sleep phenotypes. We then quantify exogenous drivers using a novel metric which encodes the circadian phase dependence of the response to light. Combining endogenous and exogeneous drivers better explains individual mean mid-sleep (adjusted R-squared 0.64) than either driver on its own (adjusted R-squared 0.08 and 0.17 respectively). Critically, our model and analysis highlights that different people exhibiting the same sleep phenotype may have different driving factors and opens the door to personalised interventions to regularize sleep-wake timing that are readily implementable with current digital health technology. Author summary Disrupted sleep has long term health consequences and affects our day-to-day ability to function physically, mentally and emotionally. But what determines when and how long we sleep? It is well-known that daily light exposure patterns determine the timing of the body clock. However, creating mathematical models that can take realistic light exposure patterns and predict plausible sleep timing has been challenging. Furthermore, nearly all previous studies have focused on developing models for average behaviour, yet sleep timing and duration are highly individual. In this paper, we present a simple model that combines sleep regulatory and circadian processes. The model can take individual light exposure patterns and, by fitting physiologically plausible parameters, describe individual mean sleep timing and duration. We test our model on data collected from 34 older participants. Our modelling approach suggests that some of the participants slept late because of physiological factors, while for other individuals, late sleep was a consequence of their light environment. This approach of combining a model with longitudinal data could be implemented in digital health technology such that your smart watch could tell you not only how you slept last night, but also how to change your light environment to sleep better tomorrow.

Executive summary This report describes the principal outcomes of an Impact Acceleration Account project (grant number EP/I000992/1) between the University of Surrey and Transport for London carried out between Oct. 2019 and Mar. 2020. The aim of the project was to compare the Health and Safety Executive (HSE) Fatigue Risk tool with SAFTE and other more recent models of fatigue, where fatigue here primarily means a reduced ability to function effectively and efficiently as a result of inadequate sleep. We have not sought to discuss the useability of the HSE Fatigue Risk tool or SAFTE since this has been discussed comprehensively elsewhere (e.g. [1, 2]). We have instead focussed on the fundamental principles underlying the models. All current biomathematical models have limitations and make asumptions that are not always evident from the accompanying documentation. Since full details of the HSE Fatigue Risk tool and the SAFTE model are not publicly available, Sections 1 and 2 give a mathematical description of the equations that we believe underlie each of these models. A comparison of predictions made by our versions of the HSE and SAFTE equations for one particular shift schedule of relevance to the UK and global tunnelling and construction industries is shown in Section 3. In this comparison, we use data collected durings TfL’s Crossrail project by Dragados 1 . Essentially, both models give broadly the same message for the schedule we looked at, but the ability to display fatigue as it develops within a shift is a strength of SAFTE. A summary of the strengths and limitations of the use of these kind of scheduling tools is given in the final Section 4. Limitations include: Models do not describe fatigue during times when people are not in shift (e.g. driving home). However, they could readily be extended to do so. Models assume people start well-rested. This is not always a good assumption and can lead to an under-estimate of fatigue. Most models are currently based on population averages, but there are large individual different. It would be possible to further develop models to include uncertainty in fatigue predictions associated with individual differences. Few mdels include the light environment, which is important both to promote short-term alertness and facilitate circadian alignment. Models are not transparent, which makes them hard to independently validate. It is hard to relate the outputs of current models to measureable outcomes in the field. We also discuss briefly recent developments in mathematical modelling of fatigue and possible future directions. These include Guidance on scheduling and education on sleep and fatigue should be considered at least as important as current biomathematical models. Only by analysing and integrating high quality individual data on sleep, fatigue, performance, near misses, accidents, actual shift patterns with models can we develop better models and management systems to reduce fatigue and associated risks. Wearables combined with apps present a great opportunity to collect data at scale but need to be used appropriately. The importance of making time for sleep is not always recognised. Education, early diagnosis of sleep disorders such as sleep apnea, and self-monitoring all have a role to play in reducing fatigue-related risk in the work-place. Section 3 and Section 4 may be understood without reading the intermediate more mathematical sections.

Analyses of gene-expression dynamics in research on circadian rhythms and sleep homeostasis often describe these two processes using separate models. Rhythmically expressed genes are, however, likely to be influenced by both processes. We implemented a driven, damped harmonic oscillator model to estimate the contribution of circadian- and sleep-wake-driven influences on gene expression. The model reliably captured a wide range of dynamics in cortex, liver, and blood transcriptomes taken from mice and humans under various experimental conditions. Sleep-wake-driven factors outweighed circadian factors in driving gene expression in the cortex, whereas the opposite was observed in the liver and blood. Because of tissue- and gene-specific responses, sleep deprivation led to a long-lasting intra- and inter-tissue desynchronization. The model showed that recovery sleep contributed to these long-lasting changes. The results demonstrate that the analyses of the daily rhythms in gene expression must take the complex interactions between circadian and sleep-wake influences into account. A record of this paper's transparent peer review process is included in the supplemental information.

Abstract Transcriptome studies aim at gaining insight into the molecular pathways underlying biological processes. Analyses of gene-expression dynamics in research on circadian rhythms and sleep homeostasis describe these two processes independently, using separate models such as sinusoidal oscillations and exponential saturating functions. Rhythmically expressed genes are, however, influenced by both processes. We therefore implemented a driven, damped harmonic oscillator model which can accommodate both types of dynamics by varying the degree of damping. This makes it possible to estimate the contribution of circadian and sleep-wake driven influences on the expression of a gene within the framework of a single model. We applied the model to cortex, liver, and blood data obtained in mice and humans. The model reliably captured a wide range of rhythmic dynamics under various experimental conditions, including the long-term amplitude reduction of cortical clock-gene rhythms observed after sleep deprivation. Cortical gene expression was generally influenced more by sleep-wake driven than circadian factors, while the opposite was observed in liver and blood. Importantly, the model suggested that sleep-wake state can alter gene expression with a delayed, long-lasting response not previously considered. Our model further predicted that, perhaps paradoxically, the gain in sleep time after sleep deprivation, delayed re-establishing baseline expression rhythms of intrinsically oscillatory transcripts indicating that similar to insufficient sleep, also excess sleep can impact rhythmic gene expression. Because of the tissue- and gene-specific responses, sleep deprivation led to a profound intra- and inter-tissue desynchronization which in the cortex lasted well beyond phenotypic sleep-wake recovery. The results demonstrate that analyzing rhythmic gene expression must take the complex interactions between circadian and sleep-wake influences into account. The model is a versatile tool with a low number of free parameters to fit and predict gene expression under a variety of conditions relevant to society.

Abstract Accurate assessment of the intrinsic period of the human circadian pacemaker is essential for a quantitative understanding of how our circadian rhythms are synchronised to exposure to natural and man-made light-dark cycles. The gold standard method for assessing intrinsic period in humans is forced desynchrony (FD) which assumes that the confounding effect of light on assessment of intrinsic period is removed by scheduling sleep-wake and associated dim light-dark (LD) cycles to periods outside the range of entrainment of the circadian pacemaker. However, the observation that the mean period of free-running blind people is longer than the mean period of sighted people assessed by FD (24.50 ± 0.17 h versus 24.15 ± 0.20 h, p < 0.001) appears inconsistent with this assertion. Here, we present a mathematical analysis using a simple parametric model of the circadian pacemaker with a sinusoidal velocity response curve (VRC) describing the effect of light on the speed of the oscillator. The analysis shows that the shorter period in FD may be explained by exquisite sensitivity of the human circadian pacemaker to low light intensities and a VRC with a larger advance region than delay region. The main implication of this analysis, which generates new and testable predictions, is that current quantitative models for predicting how light exposure affects entrainment of the human circadian system may not accurately capture the effect of dim light. The mathematical analysis generates new predictions which can be tested in laboratory experiments. These findings have implications for managing healthy entrainment of human circadian clocks in societies with abundant access to light sources with powerful biological effects.

Epileptic seizures are characterized by abnormal synchronous bursting of neurons. This is commonly attributed to an imbalance between excitatory and inhibitory neurotransmission. We introduce compartmental models from epidemiology to study this interaction between excitatory and inhibitory populations of neurons in the context of epilepsy. Neurons could either be bursting or susceptible, and the propagation of action potentials within the brain through the bursting of neurons is considered as an infection spreading through a population. We model the recruitment of neurons into bursting and their subsequent decay to susceptibility to be influenced by the proportion of excitatory and inhibitory neurons bursting, resulting in a two population Susceptible – Infected - Susceptible (SIS) model. This approach provides a tractable framework to inspect the mechanisms behind seizure generation and termination. Considering the excitatory neurotransmission as an epidemic spreading through the neuronal population and the inhibitory neurotransmission as a competing epidemic that stops the spread of excitation, we establish the conditions for a seizure-like state to be stable. Subsequently, we show how an activity-dependent dysfunction of inhibitory mechanisms such as impaired GABAergic inhibition or inhibitory–inhibitory interactions could result in a seizure even when the above conditions are not satisfied.