The complexity of many biological, social and technological systems stems from the richness of the interactions among their units. Over the past decades, a great variety of complex systems has been successfully described as networks whose interacting pairs of nodes are connected by links. Yet, in face-to-face human communication, chemical reactions and ecological systems, interactions can occur in groups of three or more nodes and cannot be simply described just in terms of simple dyads. Until recently, little attention has been devoted to the higher-order architecture of real complex systems. However, a mounting body of evidence is showing that taking the higher-order structure of these systems into account can greatly enhance our modeling capacities and help us to understand and predict their emerging dynamical behaviors. Here, we present a complete overview of the emerging field of networks beyond pairwise interactions. We first discuss the methods to represent higher-order interactions and give a unified presentation of the different frameworks used to describe higher-order systems, highlighting the links between the existing concepts and representations. We review the measures designed to characterize the structure of these systems and the models proposed in the literature to generate synthetic structures, such as random and growing simplicial complexes, bipartite graphs and hypergraphs. We introduce and discuss the rapidly growing research on higher-order dynamical systems and on dynamical topology. We focus on novel emergent phenomena characterizing landmark dynamical processes, such as diffusion, spreading, synchronization and games, when extended beyond pairwise interactions. We elucidate the relations between higher-order topology and dynamical properties, and conclude with a summary of empirical applications, providing an outlook on current modeling and conceptual frontiers.

The structure of scientific collaborations has been the object of intense study both for its importance for innovation and scientific advancement, and as a model system for social group coordination and formation thanks to the availability of authorship data. Over the last years, complex networks approach to this problem have yielded important insights and shaped our understanding of scientific communities. In this paper we propose to complement the picture provided by network tools with that coming from using simplicial descriptions of publications and the corresponding topological methods. We show that it is natural to extend the concept of triadic closure to simplicial complexes and show the presence of strong simplicial closure. Focusing on the differences between scientific fields, we find that, while categories are characterized by different collaboration size distributions, the distributions of how many collaborations to which an author is able to participate is conserved across fields pointing to underlying attentional and temporal constraints. We then show that homological cycles, that can intuitively be thought as hole in the network fabric, are an important part of the underlying community linking structure.

Research into the neural correlates of consciousness has found that the vividness and complexity of conscious experience is related to the structure of brain dynamics, and that alterations to consciousness track changes in temporal evolution of brain states. Despite inducing externally similar states, propofol and ketamine produce different subjective states of consciousness. Here we explore the different effects of these two anaesthetics on the structure of dynamical attractors reconstructed from brain activity recorded electrophysiologically from cerebral cortex of a non-human primate. We used two different methods of attractor reconstruction. The first embeds the recordings in a continuous high-dimensional manifold on which we use topological data analysis to infer the presence (or absence) of higher-order dynamics. The second reconstruction, an ordinal partition network embedding, allows us to create a discrete state-transition network approximation of a continuous attractor, which is amenable to information-theoretic analysis and contains rich information about state-transition dynamics. We find significant differences between the awake, ketamine, and propofol conditions. Propofol significantly decreased the expression of higher-order structure in brain dynamics, while ketamine had the opposite effect, promoting an increase in complex dynamic features. Overall we found that ketamine produced dynamics similar to normal waking consciousness while propofol did not, and the significance of these findings is discussed.

Understanding how gene expression translates to and affects human behaviour is one of the ultimate aims of neuroscience. In this paper, we present a pipeline based on Mapper, a topological simplification tool, to produce and analyze genes co-expression data. We first validate the method by reproducing key results from the literature on the Allen Human Brain Atlas, and the correlations between resting-state fMRI and gene co-expression maps. We then analyze a dopamine-related gene-set and find that co-expression networks produced by Mapper returned a structure that matches the well-known anatomy of the dopaminergic pathway. Our results suggest that topological network descriptions can be a powerful tool to explore the relationships between genetic pathways and their association with brain function and its perturbation due to illness and/or pharmacological challenge.