Topological quantum computation has emerged as one of the most exciting approaches to constructing a fault-tolerant quantum computer. The proposal relies on the existence of topological states of matter whose quasiparticle excitations are neither bosons nor fermions, but are particles known as non-Abelian anyons, meaning that they obey non-Abelian braiding statistics. Quantum information is stored in states with multiple quasiparticles, which have a topological degeneracy. The unitary gate operations that are necessary for quantum computation are carried out by braiding quasiparticles and then measuring the multiquasiparticle states. The fault tolerance of a topological quantum computer arises from the nonlocal encoding of the quasiparticle states, which makes them immune to errors caused by local perturbations. To date, the only such topological states thought to have been found in nature are fractional quantum Hall states, most prominently the $\ensuremath{\nu}=5∕2$ state, although several other prospective candidates have been proposed in systems as disparate as ultracold atoms in optical lattices and thin-film superconductors. In this review article, current research in this field is described, focusing on the general theoretical concepts of non-Abelian statistics as it relates to topological quantum computation, on understanding non-Abelian quantum Hall states, on proposed experiments to detect non-Abelian anyons, and on proposed architectures for a topological quantum computer. Both the mathematical underpinnings of topological quantum computation and the physics of the subject are addressed, using the $\ensuremath{\nu}=5∕2$ fractional quantum Hall state as the archetype of a non-Abelian topological state enabling fault-tolerant quantum computation.

The Pfaffian state is an attractive candidate for the observed quantized Hall plateau at a Landau-level filling fraction nu=5/2. This is particularly intriguing because this state has unusual topological properties, including quasiparticle excitations with non-Abelian braiding statistics. In order to determine the nature of the nu=5/2 state, one must measure the quasiparticle braiding statistics. Here, we propose an experiment which can simultaneously determine the braiding statistics of quasiparticle excitations and, if they prove to be non-Abelian, produce a topologically protected qubit on which a logical Not operation is performed by quasiparticle braiding. Using the measured excitation gap at nu=5/2, we estimate the error rate to be 10(-30) or lower.

The theory of quantum computation can be constructed from the abstract study of anyonic systems. In mathematical terms, these are unitary topological modular functors. They underlie the Jones polynomial and arise in Witten-Chern-Simons theory. The braiding and fusion of anyonic excitations in quantum Hall electron liquids and 2D-magnets are modeled by modular functors, opening a new possibility for the realization of quantum computers. The chief advantage of anyonic computation would be physical error correction: An error rate scaling like e−αℓe^{-\alpha \ell } , where ℓ\ell is a length scale, and α\alpha is some positive constant. In contrast, the “presumptive" qubit-model of quantum computation, which repairs errors combinatorically, requires a fantastically low initial error rate (about 10−410^{-4} ) before computation can be stabilized.

We present designs for scalable quantum computers composed of qubits encoded in aggregates of four or more Majorana zero modes, realized at the ends of topological superconducting wire segments that are assembled into superconducting islands with significant charging energy. Quantum information can be manipulated according to a measurement-only protocol, which is facilitated by tunable couplings between Majorana zero modes and nearby semiconductor quantum dots. Our proposed architecture designs have the following principal virtues: (1) the magnetic field can be aligned in the direction of all of the topological superconducting wires since they are all parallel; (2) topological T junctions are not used, obviating possible difficulties in their fabrication and utilization; (3) quasiparticle poisoning is abated by the charging energy; (4) Clifford operations are executed by a relatively standard measurement: detection of corrections to quantum dot energy, charge, or differential capacitance induced by quantum fluctuations; (5) it is compatible with strategies for producing good approximate magic states.10 MoreReceived 24 October 2016DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.95.235305©2017 American Physical SocietyPhysics Subject Headings (PhySH)Research AreasCoulomb blockadeMajorana fermionsQuantum information with solid state qubitsTopological quantum computingCondensed Matter, Materials & Applied PhysicsQuantum Information

We discuss generalizations of quantum spin Hamiltonians using anyonic degrees of freedom. The simplest model for interacting anyons energetically favors neighboring anyons to fuse into the trivial ("identity") channel, similar to the quantum Heisenberg model favoring neighboring spins to form spin singlets. Numerical simulations of a chain of Fibonacci anyons show that the model is critical with a dynamical critical exponent z=1, and described by a two-dimensional (2D) conformal field theory with central charge c=7/10. An exact mapping of the anyonic chain onto the 2D tricritical Ising model is given using the restricted-solid-on-solid representation of the Temperley-Lieb algebra. The gaplessness of the chain is shown to have topological origin.

We provide a current perspective on the rapidly developing field of Majorana zero modes in solid state systems. We emphasize the theoretical prediction, experimental realization, and potential use of Majorana zero modes in future information processing devices through braiding-based topological quantum computation. Well-separated Majorana zero modes should manifest non-Abelian braiding statistics suitable for unitary gate operations for topological quantum computation. Recent experimental work, following earlier theoretical predictions, has shown specific signatures consistent with the existence of Majorana modes localized at the ends of semiconductor nanowires in the presence of superconducting proximity effect. We discuss the experimental findings and their theoretical analyses, and provide a perspective on the extent to which the observations indicate the existence of anyonic Majorana zero modes in solid state systems. We also discuss fractional quantum Hall systems (the 5/2 state) in this context. We describe proposed schemes for carrying out braiding with Majorana zero modes as well as the necessary steps for implementing topological quantum computation.

We remove the need to physically transport computational anyons around each other from the implementation of computational gates in topological quantum computing. By using an anyonic analog of quantum state teleportation, we show how the braiding transformations used to generate computational gates may be produced through a series of topological charge measurements.