Modern microscopic techniques following the stochastic motion of labelled tracer particles have uncovered significant deviations from the laws of Brownian motion in a variety of animate and inanimate systems. Such anomalous diffusion can have different physical origins, which can be identified from careful data analysis. In particular, single particle tracking provides the entire trajectory of the traced particle, which allows one to evaluate different observables to quantify the dynamics of the system under observation. We here provide an extensive overview over different popular anomalous diffusion models and their properties. We pay special attention to their ergodic properties, highlighting the fact that in several of these models the long time averaged mean squared displacement shows a distinct disparity to the regular, ensemble averaged mean squared displacement. In these cases, data obtained from time averages cannot be interpreted by the standard theoretical results for the ensemble averages. Here we therefore provide a comparison of the main properties of the time averaged mean squared displacement and its statistical behaviour in terms of the scatter of the amplitudes between the time averages obtained from different trajectories. We especially demonstrate how anomalous dynamics may be identified for systems, which, on first sight, appear to be Brownian. Moreover, we discuss the ergodicity breaking parameters for the different anomalous stochastic processes and showcase the physical origins for the various behaviours. This Perspective is intended as a guidebook for both experimentalists and theorists working on systems, which exhibit anomalous diffusion.

We generalize the continuous time random walk (CTRW) to include the effect of space dependent jump probabilities. When the mean waiting time diverges we derive a fractional Fokker-Planck equation (FFPE). This equation describes anomalous diffusion in an external force field and close to thermal equilibrium. We discuss the domain of validity of the fractional kinetic equation. For the force free case we compare between the CTRW solution and that of the FFPE.

We introduce a fractional Fokker-Planck equation describing the stochastic evolution of a particle under the combined influence of an external, nonlinear force and a thermal heat bath. For the force-free case, a subdiffusive behavior is recovered. The equation is shown to obey generalized Einstein relations, and its stationary solution is the Boltzmann distribution. The relaxation of single modes is shown to follow a Mittag-Leffler decay. We discuss the example of a particle in a harmonic potential.

The irreproducibility of time-averaged observables in living cells poses fundamental questions for statistical mechanics and reshapes our views on cell biology.

Combining extensive single particle tracking microscopy data of endogenous lipid granules in living fission yeast cells with analytical results we show evidence for anomalous diffusion and weak ergodicity breaking. Namely we demonstrate that at short times the granules perform subdiffusion according to the laws of continuous time random walk theory. The associated violation of ergodicity leads to a characteristic turnover between two scaling regimes of the time averaged mean squared displacement. At longer times the granule motion is consistent with fractional Brownian motion.

Single particle tracking of mRNA molecules and lipid granules in living cells shows that the time averaged mean squared displacement $\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}$ of individual particles remains a random variable while indicating that the particle motion is subdiffusive. We investigate this type of ergodicity breaking within the continuous time random walk model and show that $\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}$ differs from the corresponding ensemble average. In particular we derive the distribution for the fluctuations of the random variable $\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}$. Similarly we quantify the response to a constant external field, revealing a generalization of the Einstein relation. Consequences for the interpretation of single molecule tracking data are discussed.

We measured individual trajectories of fluorescently labeled telomeres in the nucleus of eukaryotic cells in the time range of ${10}^{\ensuremath{-}2}--{10}^{4}\mathrm{sec}$ by combining a few acquisition methods. At short times the motion is subdiffusive with $⟨{r}^{2}⟩\ensuremath{\sim}{t}^{\ensuremath{\alpha}}$ and it changes to normal diffusion at longer times. The short times diffusion may be explained by the reptation model and the transient diffusion is consistent with a model of telomeres that are subject to a local binding mechanism with a wide but finite distribution of waiting times. These findings have important biological implications with respect to the genome organization in the nucleus.

Recently, Metzler et al. [Phys. Rev. Lett. 82, 3563 (1999)], introduced a fractional Fokker-Planck equation (FFPE) describing a subdiffusive behavior of a particle under the combined influence of external nonlinear force field, and a Boltzmann thermal heat bath. In this paper we present the solution of the FFPE in terms of an integral transformation. The transformation maps the solution of ordinary Fokker-Planck equation onto the solution of the FFPE, and is based on Lévy's generalized central limit theorem. The meaning of the transformation is explained based on the known asymptotic solution of the continuous time random walk (CTRW). We investigate in detail (i) a force-free particle, (ii) a particle in a uniform field, and (iii) a particle in a harmonic field. We also find an exact solution of the CTRW, and compare the CTRW result with the corresponding solution of the FFPE. The relation between the fractional first passage time problem in an external nonlinear field and the corresponding integer first passage time is given. An example of the one-dimensional fractional first passage time in an external linear field is investigated in detail. The FFPE is shown to be compatible with the Scher-Montroll approach for dispersive transport, and thus is applicable in a large variety of disordered systems. The simple FFPE approach can be used as a practical tool for a phenomenological description of certain types of complicated transport phenomena.

Anomalous diffusion has been widely observed by single particle tracking microscopy in complex systems such as biological cells. The resulting time series are usually evaluated in terms of time averages. Often anomalous diffusion is connected with non-ergodic behaviour. In such cases the time averages remain random variables and hence irreproducible. Here we present a detailed analysis of the time averaged mean squared displacement for systems governed by anomalous diffusion, considering both unconfined and restricted (corralled) motion. We discuss the behaviour of the time averaged mean squared displacement for two prominent stochastic processes, namely, continuous time random walks and fractional Brownian motion. We also study the distribution of the time averaged mean squared displacement around its ensemble mean, and show that this distribution preserves typical process characteristics even for short time series. Recently, velocity correlation functions were suggested to distinguish between these processes. We here present analytical expressions for the velocity correlation functions. The knowledge of the results presented here is expected to be relevant for the correct interpretation of single particle trajectory data in complex systems.

We investigate the time average mean-square displacement $\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}\mathbf{(}x(t)\mathbf{)}={\ensuremath{\int}}_{0}^{t\ensuremath{-}\ensuremath{\Delta}}{[x({t}^{\ensuremath{'}}+\ensuremath{\Delta})\ensuremath{-}x({t}^{\ensuremath{'}})]}^{2}d{t}^{\ensuremath{'}}∕(t\ensuremath{-}\ensuremath{\Delta})$ for fractional Brownian-Langevin motion where $x(t)$ is the stochastic trajectory and $\ensuremath{\Delta}$ is the lag time. Unlike the previously investigated continuous-time random-walk model, $\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}$ converges to the ensemble average $⟨{x}^{2}⟩\ensuremath{\sim}{t}^{2H}$ in the long measurement time limit. The convergence to ergodic behavior is slow, however, and surprisingly the Hurst exponent $H=\frac{3}{4}$ marks the critical point of the speed of convergence. When $H<\frac{3}{4}$, the ergodicity breaking parameter ${E}_{B}={\mathbf{[}⟨[\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}\mathbf{(}x(t)\mathbf{)}\mathbf{]}}^{2}⟩\ensuremath{-}{⟨\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}\mathbf{(}x(t)\mathbf{)}⟩}^{2}\mathbf{]}/{⟨\overline{{\ensuremath{\delta}}^{2}}\mathbf{(}x(t)\mathbf{)}⟩}^{2}\ensuremath{\sim}k(H)\ensuremath{\Delta}{t}^{\ensuremath{-}1}$, when $H=\frac{3}{4}$, ${E}_{B}\ensuremath{\sim}(\frac{9}{16})(\mathrm{ln}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t)\ensuremath{\Delta}{t}^{\ensuremath{-}1}$, and when $\frac{3}{4}<H<1$, ${E}_{B}\ensuremath{\sim}k(H){\ensuremath{\Delta}}^{4\ensuremath{-}4H}{t}^{4H\ensuremath{-}4}$. In the ballistic limit $H\ensuremath{\rightarrow}1$ ergodicity is broken and ${E}_{B}\ensuremath{\sim}2$. The critical point $H=\frac{3}{4}$ is marked by the divergence of the coefficient $k(H)$. Fractional Brownian motion as a model for recent experiments of subdiffusion of mRNA in the cell is briefly discussed, and a comparison with the continuous-time random-walk model is made.