The ionisation cones of NGC\,5728 have a deficit of molecular gas based on millimetre observations of CO\,(2-1) emission. Although photoionisation from the active nucleus may lead to suppression of this transition, warm molecular gas can still be present. We report the detection of eight mid-infrared rotational H$_2$ lines throughout the central kiloparsec, including the ionisation cones, using integral field spectroscopic observations with JWST/MIRI MRS. The H$_2$ line ratios, characteristic of a power-law temperature distribution, indicate that the gas is warmest where it enters the ionisation cone through disk rotation, suggestive of shock excitation. In the nucleus, where the data can be combined with an additional seven ro-vibrational H$_2$ transitions, we find that moderate velocity (30 km $) shocks in dense ($10^5$ cm$^ $) gas, irradiated by an external UV field ($G_0 = 10^3$), do provide a good match to the full set. The warm molecular gas in the ionisation cone that is traced by the H$_2$ rotational lines has been heated to temperatures $>200$ K. Outside of the ionisation cone the molecular gas kinematics are undisturbed. However, within the ionisation cone, the kinematics are substantially perturbed, indicative of a radial flow, but one that is quantitatively different from the ionised lines. We argue that this outflow is in the plane of the disk, implying a short 50 pc acceleration zone up to speeds of about 400 km s$^ $ followed by an extended deceleration over sim 700 pc where it terminates. The deceleration is due to both the radially increasing galaxy mass, and mass-loading as ambient gas in the disk is swept up.

Understanding the processes that drive the morphology and kinematics of molecular gas in galaxies is crucial for comprehending star formation and, ultimately, galaxy evolution. Using data from the Galactic Activity, Torus and Outflow Survey (GATOS) obtained with the James Webb Space Telescope (JWST) and the archival data from the Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA), we study the behavior of the warm molecular gas at temperatures of hundreds of Kelvin and the cold molecular gas at tens of Kelvin in the galaxy MCG$-$05$-$23$-$16, which hosts an active galactic nucleus (AGN). Hubble Space Telescope (HST) images of this spheroidal galaxy, classified in the optical as S0, show a dust lane resembling a nuclear spiral and a surrounding ring. These features are also detected in CO(2$-$1) and H$_2$, and their morphologies and kinematics are consistent with rotation plus local inward gas motions along the kinematic minor axis in the presence of a nuclear bar. The H$_2$ transitions 0-0 S(3), 0-0 S(4), and 0-0 S(5), which trace warmer and more excited gas, show more disrupted kinematics than 0-0 S(1) and 0-0 S(2), including clumps of high velocity dispersion (of up to sim 160 km s$^ $), in regions devoid of CO(2$-$1). The kinematics of one of these clumps, located sim 350\,pc westward of the nucleus, are consistent with outflowing gas, possibly driven by localized star formation traced by polycyclic aromatic hydrocarbon emission at 11.3 mu m. Overall, we observe a stratification of the molecular gas, with the colder gas located in the nuclear spiral, ring, and connecting arms, and most of the warmer gas with a higher velocity dispersion filling the inter-arm space. The compact jet, approximately 200 pc in size, detected with Very Large Array (VLA) observations, does not appear to significantly affect the distribution and kinematics of the molecular gas, possibly due to its limited intersection with the molecular gas disk.