We report a next-to-leading-order (NLO) chiral perturbation theorycalculation of the neutron-proton scattering cross section in the ${}^1S_0$channel using a cut-off regularization. The inclusion of two-pion exchanges inthe irreducible diagrams -- or potential -- figuring at NLO is found to beimportant in enlarging the domain of validity of the effective field theory. Weare able to reproduce the {\it empirical} scattering phase shift up to p=300MeV -- which is comparable to the cutoff scale involved -- with an agreementwhich is superior to results of other effective field theory approaches. Wealso discuss the role of the cutoff as a renormalization prescription and theimportance of the explicit pion degree of freedom in scattering process.

It is shown that certain extremal correlators in four-dimensional N=2superconformal field theories (including N=4 super-Yang-Mills as a specialcase) have a free-field functional form. It is further argued that the couplingconstant dependence receives no correction beyond the lowest order. Theseresults hold for any finite value of N_c.

We study the question of the Ward identity for "large" gauge invariance in0+1 dimensional theories. We derive the relevant Ward identities for a singleflavor fermion and a single flavor complex scalar field interacting with anAbelian gauge field. These identities are nonlinear. The Ward identity for anyother complicated theory can be derived from these basic sets of identities.However, the structure of the Ward identity changes since these are nonlinearidentities. In particular, we work out the "large" gauge Ward identity for asupersymmetric theory involving a single flavor of fermion as well as a complexscalar field. Contrary to the effective action for the individual theories, thesolution of the Ward identity in the supersymmetric theory involves an infinityof Fourier component modes. We comment on which features of this analysis arelikely/unlikely to generalize to the 2+1 dimensional theory.

It is shown that the Newton-Sabatier procedure for inverting the fixed-energyphase shifts for a potential is not an inversion method but a parameter-fittingprocedure. Theoretically there is no guarantee that this procedure isapplicable to the given set of the phase shifts, if it is applicable, there isno guaran- tee that the potential it produces generates the phase shifts fromwhich it was reconstructed. Moreover, no generic potential, specifically, nopotential which is not analytic in a neighborhood of the positive real semiaxiscan be reconstructed by the Newton-Sabatier procedure. A numerical method is given for finding spherically symmetric compactlysupported potentials which produce practically the same set of fixed-energyphase shifts for all values of angular momentum. Concrete example of suchpotentials is given.

Let $\hat{\frak g}$ be an untwisted affine Kac-Moody algebra. The quantumgroup $U_h(\hat{\frak g})$ (over $\mathbb{C}[[h]]$) is known to be aquasitriangular Hopf algebra: in particular, it has a universal $ R $--matrix,which yields an $ R $--matrix for each pair of representations of$U_h(\hat{\frak g})$. On the other hand, the quantum group $U_q(\hat{\frak g})$(over $\mathbb{C}(q) $) also has an $ R $--matrix for each pair ofrepresentations, but it has not a universal $ R $--matrix so that one cannotsay that it is quasitriangular. Following Reshetikin, one introduces the(weaker) notion of braided Hopf algebra: then $ U_q(\hat{\frak g})$ is abraided Hopf algebra. In this work we prove that also the unrestricted specializations of$U_q(\hat{\frak g})$ at roots of 1 are braided: in particular, specializing $q$at 1 we have that the function algebra $F \big[ \hat{H} \big]$ of the Poissonproalgebraic group $\hat{H}$ dual of $\hat{G}$ (a Kac-Moody group with Liealgebra $\hat{\frak g} \,$) is braided. This is useful because, despite thesespecialized quantum groups are not quasitriangular, the braiding is enough forapplications, mainly for producing knot invariants. As an example, the actionof the $ R $--matrix on (tensor products of) Verma modules can be specializedat odd roots of 1.

We are dealing with the problem of space layout planning here. We present anarchitectural conceptual CAD approach. Starting with design specifications interms of constraints over spaces, a specific enumeration heuristics leads to acomplete set of consistent conceptual design solutions named topologicalsolutions. These topological solutions which do not presume any precisedefinitive dimension correspond to the sketching step that an architect carriesout from the Design specifications on a preliminary design phase inarchitecture.

New defects (Z-vortices and Nambu monopoles) are found to becomethermodynamically relevant for the broken phase near to the (weakly firstorder) electroweak phase transition, and below the crossover for higher Higgsmass. The symmetric phase is characterized by vortex condensation(percolation). The percolation transition persists in the crossover region. Thequasiclassical nature of the vortices is supported by correlations with Higgsfield and gauge field energy. Sphalerons are shown to be related to monopoliumbound states.

We extend the application of vector and axial Ward identities to calculate$b_A$, $b_P$ and $b_T$, coefficients that give the mass dependence of therenormalization constants of the corresponding bilinear operators in thequenched theory. The extension relies on using operators with non-degeneratequark masses. It allows a complete determination of the $O(a)$ improvementcoefficients for bilinears in the quenched approximation using Ward Identitiesalone. Only the scale dependent normalization constants $Z_P^0$ (or $Z_S^0$)and $Z_T$ are undetermined. We present results of a pilot numerical study usinghadronic correlators.