Persistent homology (PH) is a method used in topological data analysis (TDA) to study qualitative features of data that persist across multiple scales. It is robust to perturbations of input data, independent of dimensions and coordinates, and provides a compact representation of the qualitative features of the input. The computation of PH is an open area with numerous important and fascinating challenges. The field of PH computation is evolving rapidly, and new algorithms and software implementations are being updated and released at a rapid pace. The purposes of our article are to (1) introduce theory and computational methods for PH to a broad range of computational scientists and (2) provide benchmarks of state-of-the-art implementations for the computation of PH. We give a friendly introduction to PH, navigate the pipeline for the computation of PH with an eye towards applications, and use a range of synthetic and real-world data sets to evaluate currently available open-source implementations for the computation of PH. Based on our benchmarking, we indicate which algorithms and implementations are best suited to different types of data sets. In an accompanying tutorial, we provide guidelines for the computation of PH. We make publicly available all scripts that we wrote for the tutorial, and we make available the processed version of the data sets used in the benchmarking.

Treatment of severe COVID-19 is currently limited by clinical heterogeneity and incomplete description of specific immune biomarkers. We present here a comprehensive multi-omic blood atlas for patients with varying COVID-19 severity in an integrated comparison with influenza and sepsis patients versus healthy volunteers. We identify immune signatures and correlates of host response. Hallmarks of disease severity involved cells, their inflammatory mediators and networks, including progenitor cells and specific myeloid and lymphocyte subsets, features of the immune repertoire, acute phase response, metabolism, and coagulation. Persisting immune activation involving AP-1/p38MAPK was a specific feature of COVID-19. The plasma proteome enabled sub-phenotyping into patient clusters, predictive of severity and outcome. Systems-based integrative analyses including tensor and matrix decomposition of all modalities revealed feature groupings linked with severity and specificity compared to influenza and sepsis. Our approach and blood atlas will support future drug development, clinical trial design, and personalized medicine approaches for COVID-19.

Abstract Spatial transcriptomics measures in situ gene expression at millions of locations within a tissue 1 , hitherto with some trade-off between transcriptome depth, spatial resolution and sample size 2 . Although integration of image-based segmentation has enabled impactful work in this context, it is limited by imaging quality and tissue heterogeneity. By contrast, recent array-based technologies offer the ability to measure the entire transcriptome at subcellular resolution across large samples 3–6 . Presently, there exist no approaches for cell type identification that directly leverage this information to annotate individual cells. Here we propose a multiscale approach to automatically classify cell types at this subcellular level, using both transcriptomic information and spatial context. We showcase this on both targeted and whole-transcriptome spatial platforms, improving cell classification and morphology for human kidney tissue and pinpointing individual sparsely distributed renal mouse immune cells without reliance on image data. By integrating these predictions into a topological pipeline based on multiparameter persistent homology 7–9 , we identify cell spatial relationships characteristic of a mouse model of lupus nephritis, which we validate experimentally by immunofluorescence. The proposed framework readily generalizes to new platforms, providing a comprehensive pipeline bridging different levels of biological organization from genes through to tissues.

Abstract Extracellular matrix (ECM) organization influences cancer development and progression. It modulates the invasion of cancer cells and can hinder the access of immune cells to cancer cells. Effective quantification of ECM architecture and its relationship to the position of different cell types is, therefore, important when investigating the role of ECM in cancer development. Using topological data analysis (TDA), particularly persistent homology and Dowker persistent homology, we develop a novel analysis pipeline for quantifying ECM architecture, spatial patterns of cell positions, and the spatial relationships between distinct constituents of the tumour microenvironment. We apply the pipeline to 44 surgical specimens of lung adenocarcinoma from the lung TRACERx study stained with picrosirius red and haematoxylin. We show that persistent homology effectively encodes the architectural features of the tumour microenvironment. Inference using pseudo-time analysis and spatial mapping to centimetre scale tissues suggests a gradual and progressive route of change in ECM architecture, with two different end states. Dowker persistent homology enables the analysis of spatial relationship between any pair of constituents of the tumour microenvironment, such as ECM, cancer cells, and leukocytes. We use Dowker persistent homology to quantify the spatial segregation of cancer and immune cells over different length scales. A combined analysis of both topological and non-topological features of the tumour microenvironment indicates that progressive changes in the ECM are linked to increased immune exclusion and reduced oxidative metabolism.

Abstract Organoids are multi-cellular structures that are cultured in vitro from stem cells to resemble specific organs (e.g., brain, liver) in their three-dimensional composition. Dynamic changes in the shape and composition of these model systems can be used to understand the effect of mutations and treatments in health and disease. In this paper, we propose a new technique in the field of topological data analysis for DEtecting Temporal shape changes with the Euler Characteristic Transform (DETECT). DETECT is a rotationally invariant signature of dynamically changing shapes. We demonstrate our method on a data set of segmented videos of mouse small intestine organoid experiments and show that it outperforms classical shape descriptors. We verify our method on a synthetic organoid data set and illustrate how it generalizes to 3D. We conclude that DETECT offers rigorous quantification of organoids and opens up computationally scalable methods for distinguishing different growth regimes and assessing treatment effects.

A number of important pluripotency regulators, including the transcription factor Nanog, are observed to fluctuate stochastically in individual embryonic stem (ES) cells. By transiently priming cells for commitment to different lineages, these fluctuations are thought to be important to the maintenance of, and exit from, pluripotency. However, since temporal changes in intracellular protein abundances cannot be measured directly in live cells, these fluctuations are typically assessed using genetically engineered reporter cell lines that produce a fluorescent signal as a proxy for protein expression. Here, using a combination of mathematical modeling and experiment, we show that there are unforeseen ways in which widely used reporter strategies can systemically disturb the dynamics they are intended to monitor, sometimes giving profoundly misleading results. In the case of Nanog we show how genetic reporters can compromise the behavior of important pluripotency-sustaining positive feedback loops, and induce a bifurcation in the underlying dynamics that gives rise to heterogeneous Nanog expression patterns in reporter cell lines that are not representative of the wild-type. These findings help explain the range of published observations of Nanog variability and highlight a fundamental measurement problem in cell biology.

ABSTRACT Mesoscopic photoacoustic imaging (PAI) enables non-invasive visualisation of tumour vasculature and has the potential to assess prognosis and therapeutic response. Currently, evaluating vasculature using mesoscopic PAI involves visual or semi-quantitative 2D measurements, which fail to capture 3D vessel network complexity, and lack robust ground truths for assessment of segmentation accuracy. Here, we developed an in silico , phantom, in vivo , and ex vivo -validated end-to-end framework to quantify 3D vascular networks captured using mesoscopic PAI. We applied our framework to evaluate the capacity of rule-based and machine learning-based segmentation methods, with or without vesselness image filtering, to preserve blood volume and network structure by employing topological data analysis. We first assessed segmentation performance against ground truth data of in silico synthetic vasculatures and a photoacoustic string phantom. Our results indicate that learning-based segmentation best preserves vessel diameter and blood volume at depth, while rule-based segmentation with vesselness image filtering accurately preserved network structure in superficial vessels. Next, we applied our framework to breast cancer patient-derived xenografts (PDXs), with corresponding ex vivo immunohistochemistry. We demonstrated that the above segmentation methods can reliably delineate the vasculature of 2 breast PDX models from mesoscopic PA images. Our results underscore the importance of evaluating the choice of segmentation method when applying mesoscopic PAI as a tool to evaluate vascular networks in vivo .

Abstract Weighted digraphs are used to model a variety of natural systems and can exhibit interesting structure across a range of scales. In order to understand and compare these systems, we require stable, interpretable, multiscale descriptors. To this end, we propose grounded persistent path homology ( GrPPH )—a new, functorial, topological descriptor that describes the structure of an edge-weighted digraph via a persistence barcode. We show there is a choice of circuit basis for the graph which yields geometrically interpretable representatives for the features in the barcode. Moreover, we show the barcode is stable, in bottleneck distance, to both numerical and structural perturbations.

Abstract Topological data analysis (TDA) is an active field of mathematics for quantifying shape in complex data. Standard methods in TDA such as persistent homology (PH) are typically focused on the analysis of data consisting of a single entity (e.g., cells or molecular species). However, state-of-the-art data collection techniques now generate exquisitely detailed multispecies data, prompting a need for methods that can examine and quantify the relations among them. Such heterogeneous data types arise in many contexts, ranging from biomedical imaging, geospatial analysis, to species ecology. Here, we propose two methods for encoding spatial relations among different data types that are based on Dowker complexes and Witness complexes. We apply the methods to synthetic multispecies data of a tumor microenvironment and analyze topological features that capture relations between different cell types, e.g., blood vessels, macrophages, tumor cells, and necrotic cells. We demonstrate that relational topological features can extract biological insight, including the dominant immune cell phenotype (an important predictor of patient prognosis) and the parameter regimes of a data-generating model. The methods provide a quantitative perspective on the relational analysis of multispecies spatial data, overcome the limits of traditional PH, and are readily computable.