abstract Understanding the relationship between the structure of chemical reaction networks and their reaction dynamics is essential for unveiling the design principles of living organisms. However, while some network-structural features are known to relate to the steady-state characteristics of chemical reaction networks, mathematical frameworks describing the links between out-of-steady-state dynamics and network structure are still underdeveloped. Here, we characterize the out-of-steady-state behavior of a class of artificial chemical reaction networks consisting of the ligation and splitting reactions of polymers. Within this class, we examine minimal networks that can convert a given set of inputs (e.g., nutrients) to a specified set of targets (e.g., biomass precursors). We find three distinct types of relaxation dynamics after perturbation from a steady-state: exponential-, power-law-, and plateau-dominated. We computationally show that we can predict this out-of-steady-state dynamical behavior from just three features computed from the network’s stoichiometric matrix, namely, (i) the rank gap, determining the existence of a steady-state; (ii) the left null-space, being related to conserved quantities in the dynamics; and (iii) the stoichiometric cone, dictating the range of achievable chemical concentrations. We further demonstrate that these three quantities also predict the type of relaxation dynamics of combinations of our minimal networks, larger networks with many redundant pathways, and a real example of a metabolic network. The unified method to predict the qualitative features of the relaxation dynamics presented here can provide a basis for understanding the design of metabolic reaction networks as well as industrially useful chemical production pathways. Author summary The relationship between network structure and chemical reaction dynamics is of central interest in chemical reaction network theory, as it underlies chemical manufacturing, cellular metabolism, and bioengineering. The links between structure and steady-state properties have been extensively investigated. However, how far the network structure determines the out-of-steady-state, transient dynamics of chemical reactions is unexplored. Here we construct a chemical reaction network model that is simple but generates a wide variety of network instances. By computationally exploring the networks’ structural- and dynamical features, we found that three network-structural features are sufficient to predict the qualitative characteristics of the relaxation dynamics after the chemical concentrations are perturbed from their steady-state. Depending on the values of those three features, the chemical reaction dynamics on the network exhibit exponential, plateau, and power-law relaxation. Also, we found that such features are determinants of the dynamics of biological metabolic reaction systems. Our findings provide a foundation for the structure-based prediction of chemical reaction dynamics.

Abstract Prolonged lag time can be induced by starvation contributing to the antibiotic tolerance of bacteria. We analyze the optimal lag time to survive and grow the iterative and stochastic application of antibiotics. A simple model shows that the optimal lag time can exhibit a discontinuous transition when the severeness of the antibiotic application, such as the probability to be exposed the antibiotic, the death rate under the exposure, and the duration of the exposure, is increased. This suggests the possibility of reducing tolerant bacteria by controlled usage of antibiotics application. When the bacterial populations are able to have two phenotypes with different lag times, the fraction of the second phenotype that has different lag time shows a continuous transition. We then present a generic framework to investigate the optimal lag time distribution for total population fitness for a given distribution of the antibiotic application duration. The obtained optimal distributions have multiple peaks for a wide range of the antibiotic application duration distributions, including the case where the latter is monotonically decreasing. The analysis supports the advantage in evolving multiple, possibly discrete phenotypes in lag time for bacterial long-term fitness. Author summary Bacteria grow exponentially consuming nutrients, and then starve until the next nutrient is added. During the starvation, the cells enter dormancy and the cells become tolerant not only to starvation but also to other stressors. When nutrients are given to the starved cells, it takes some time before the cells fully “wake-up” and proliferate again. At first sight, it appears that the shorter this lag time the better for the bacteria. However, if the environment may contain another deadly stressor such as antibiotics, it may be better to “over-sleep” until the stressor is gone. Thus, they need to evolve to optimize their waking up strategy in the fluctuating environment. Here we have developed a theory for the optimal strategy for the repeated grow-and-starvation cycles with a fluctuating application of antibiotics. The optimal lag time exhibits a steep transition from immediate wake-up to over-sleep when the severeness of the antibiotics exceeds the threshold. The proposed general framework provides a way to predict the optimal distribution of lag time for various environmental fluctuation, and it may open for possible applications in administrating drug usage for interventions of pathogenic bacteria as well as cancer therapies where drug tolerance of dormant cells are observed.

The quantitative characterization of bacterial growth has attracted substantial research attention since Monods pioneering study. Theoretical and experimental work have uncovered several laws for describing the exponential growth phase, in which the number of cells grows exponentially. However, microorganism growth also exhibits lag, stationary, and death phases under starvation conditions, in which cell growth is highly suppressed, for which quantitative laws or theories are markedly underdeveloped. In fact, the models commonly adopted for the exponential phase that consist of autocatalytic chemical components, including ribosomes, can only show exponential growth or decay in a population, and thus phases that halt growth are not realized. Here, we propose a simple, coarse-grained cell model that includes an extra class of macromolecular components in addition to the autocatalytic active components that facilitate cellular growth. These extra components form a complex with the active components to inhibit the catalytic process. Depending on the nutrient condition, the model exhibits the typical transitions among the lag, exponential, stationary, and death phases. Furthermore, the lag time needed for growth recovery after starvation follows the square root of the starvation time and is inversely related to the maximal growth rate. This is in agreement with experimental observations, in which the length of time of cell starvation is memorized in the slow accumulation of molecules. Moreover, the lag time distributed among cells is skewed with a long time tail. If the starvation time is longer, an exponential tail appears, which is also consistent with experimental data. Our theory further predicts a strong dependence of lag time on the speed of substrate depletion, which can be tested experimentally. The present model and theoretical analysis provide universal growth laws beyond the exponential phase, offering insight into how cells halt growth without entering the death phase.

Homeostasis is a fundamental characteristic of living systems. Unlike rigidity, homeostasis necessitates that systems respond flexibly to diverse environments. Understanding the dynamics of biochemical systems when subjected to perturbations is essential for the development of a quantitative theory of homeostasis. In this study, we analyze the response of bacterial metabolism to externally imposed perturbations using kinetic models of Escherichia coli9s central carbon metabolism. Our findings indicate that three distinct kinetic models consistently display strong responses to perturbations, wherein minor initial discrepancies in metabolite concentrations from steady-state values amplify over time, resulting in significant deviations. Subsequent numerical studies show that adenyl cofactors consistently influence the responsiveness of the metabolic systems across models. Additionally, we examine the impact of network structure on metabolic dynamics, demonstrating that as the metabolic network becomes denser, the perturbation response diminishes-a trend observed commonly in the models. To confirm the significance of cofactors and network structure, we constructed a simplified metabolic network model, underscoring their importance. By identifying the structural determinants of responsiveness, our findings offer implications for bacterial physiology, the evolution of metabolic networks, and the design principles for robust artificial metabolism in synthetic biology and bioengineering.

In type-I toxin-antitoxin (TA) systems, the action of growth-inhibiting toxin proteins is counteracted by the antitoxin small RNAs (sRNAs) that prevent the translation of toxin messenger RNAs (mRNAs). When a TA module is encoded on a plasmid, the short lifetime of antitoxin sRNA compared to toxin mRNAs mediates post-segregational killing (PSK) that contribute the plasmid maintenance, while some of the chromosomal encoded TA loci have been reported to contribute to persister formation in response to a specific upstream signal. Some of the well studied type-I TA systems such as hok/sok are known to have a rather complex regulatory mechanism. Transcribed full-length toxin mRNAs fold such that the ribosome binding site is not accessible and hence cannot be translated. The mRNAs are slowly processed by RNases, and the truncated mRNAs can be either translated or bound by antitoxin sRNA to be quickly degraded. We analyze the role of this extra processing by a mathematical model. We first consider the PSK scenario, and demonstrate that the extra processing compatibly ensures the high toxin expression upon complete plasmid loss, without inducing toxin expression upon acquisition of a plasmid or decrease of plasmid number to a non-zero number. We further show that the extra processing help filtering the transcription noise, avoiding random activation of toxins in transcriptionally regulated TA systems as seen in chromosomal ones. The present model highlights impacts of the slow processing reaction, offering insights on why the slow processing reactions are commonly identified in multiple type-I TA systems.

Abstract Stationary phase is the general term for the state a bacterial culture reaches when no further increase in cell number occurs due to the exhaustion of nutrients in the growth medium. Depending on the type of nutrient that is first depleted, the metabolic state of the stationary phase cells may vary greatly, and the subsistence strategies that best support cell survival may differ. As ribosomes play a central role in bacterial growth and energy expenditure, ribosome preservation is a key element of such strategies. To investigate the degree of ribosome preservation during long-term starvation, we compared the dynamics of ribosomal RNA (rRNA) levels of carbon-starved and phosphorus-starved Escherichia coli cultures for up to 28 days. The starved cultures’ contents of full-length 16S and 23S rRNA decreased exponentially and phosphorus starvation resulted in much more rapid rRNA degradation than carbon starvation. Bacterial survival kinetics were also quantified over the starvation period. Upon replenishment of the nutrient in question, carbon-starved cells resumed growth faster than cells starved for phosphate for the equivalent amount of time, and for both conditions, the lag time increased with the starvation time. While these results are in accordance with the hypothesis that cells with a larger ribosome pool recover more readily upon replenishment of nutrients, we also observed that the lag time kept increasing with increasing starvation time, also when the amount of rRNA per viable cell remained constant. Importance Bacteria grow exponentially consuming nutrients, and then starve until the next nutrient is added. To elucidate the survival kinetics of the cells under starvation, we performed month-long, carbon and phosphorus starvation experiments of Escherichia coli monitoring ribosomal RNA levels and survival of the cells. The starved cultures’ concentration of ribosomal RNA dropped exponentially with time, and the speed of degradation was much quicker under the phosphorus starvation than the carbon starvation. We have also quantified the lag time, i.e., the time needed to resume growth when the starved cells are transferred into fresh media. The observation revealed that the lag time increases with starvation time and the phosphorus starvation has a greater impact on the increase of the lag time.

Abstract Physiological states of bacterial cells exhibit a wide spectrum of timescale. Under nutrient-rich conditions, most of the cells in an isogenic bacterial population grow at certain rates, while a small subpopulation sometimes falls into a dormant state where the growth rates slow down by orders of magnitude. The dormant cells have unique characteristics: The metabolic activity is quite slow, and the dormant cells typically exhibit a high tolerance for a range of stresses, such as antibiotics applications. To reveal the origins of such heterogeneity of timescales, we constructed a kinetic model of Escherichia coli central carbon metabolism, including the dynamics of the energy currency molecules, and asked if perturbations of the metabolites’ concentrations lead to the distinct metabolic states. By numerically studying the relaxation dynamics, we found that the model robustly exhibits two qualitatively distinct relaxation dynamics depending on the initial conditions generated by the perturbations. In the first type, the concentrations of metabolites reach the steady-state quickly, resembling the growing dynamics. On the other hand, the other type of dynamics takes a much longer time to reach the steady-state, and during the relaxation, cell growth almost halts, reminding us of the dormant cells. In order to unveil the mechanism of distinct behaviors, we reduced the metabolic network model into a minimal model without losing the emergence of distinct dynamics. Analytical and numerical studies of the 2-variable minimal model revealed the necessary conditions for the distinct behavior, namely, the depletion of energy due to the futile cycle and its non-uniform impact on the kinetics because of the coexistence of the energy currency-coupled and uncoupled reactions as well as branching of the network. The result is consistent with the experimental reports that the dormant cells commonly exhibit low ATP levels and provides a possible explanation for the appearance of dormant cells that causes antibiotic persistence.

The process of cell differentiation in multicellular organisms is characterized by hierarchy and irreversibility in many cases. However, the conditions and selection pressures that give rise to these characteristics remain poorly understood. By using a mathematical model, here we show that the network of differentiation potency (differentiation diagram) becomes necessarily hierarchical and irreversible by increasing the number of terminally differentiated states under certain conditions. The mechanisms generating these characteristics are clarified using geometry in the cell state space. The results demonstrate that the appearance of these characteristics can be driven without assuming the adaptive significance. The study also provides a new perspective on the structure of gene regulatory networks that produce hierarchical and irreversible differentiation diagrams. These results indicate some constraints on cell differentiation, which are expected to provide a starting point for theoretical discussion of the implicit limits and directions of evolution in multicellular organisms.

Understanding deaths and life-death boundaries of cells is a fundamental challenge in biological sciences. In this study, we present a theoretical framework for investigating cell death. We conceptualize cell death as a controllability problem within dynamical systems, and compute the life-death boundary through the development of “stoichiometric rays.” This method utilizes enzyme activity as control parameters, exploiting the inherent property of enzymes to enhance reaction rates without affecting thermodynamic potentials. This approach facilitates the efficient evaluation of the global controllability of models. We demonstrate the utility of our framework using its application to a toy metabolic model, where we delineate the life-death boundary. The formulation of cell death through mathematical principles provides a foundation for the theoretical study of cellular mortality. Published by the American Physical Society 2024

Understanding deaths and life-death boundaries of cells is a fundamental challenge in biological sciences. In this study, we present a theoretical framework for investigating cell death. We conceptualize cell death as a controllability problem within dynamical systems, and compute the life-death boundary through the development of “stoichiometric rays”. This method utilizes enzyme activity as control parameters, exploiting the inherent property of enzymes to enhance reaction rates without shifting equilibrium states. This approach facilitates the efficient evaluation of the global controllability of models. We demonstrate the utility of our framework using its application to a toy metabolic model, where we delineate the life-death boundary. The formulation of cell death through mathematical principles provides a foundation for the theoretical study of cellular mortality. SIGNIFICANCE STATEMENT What is death? This fundamental question in biology lacks a clear theoretical framework despite numerous experimental studies. In this study, we present a new way to understand cell death by looking at how cells can or cannot control their states. We define a “dead state” as a state from which a cell cannot return to being alive. Our method, called “Stoichiometric Rays”, helps determine if a cell’s state is dead based on enzymatic reactions. By using this method, we can quantify the life-death boundary in metabolic models. The present framework provides a theoretical basis and a tool for understanding cell death.