The optical conductivity of MgB$_2$ has been determined on a densepolycrystalline sample in the spectral range 6 meV - 4.6 eV using a combinationof ellipsometric and normal incidence reflectivity measurements.$\sigma_{1}(\omega)$ features a narrow Drude peak with anomalously small plasmafrequency (1.4 eV) and a very broad "dome" structure, which comprises the bulkof the low-energy spectral weight. This fact can be reconciled with the resultsof band structure calculations by assuming that charge carriers from the 2D$\sigma$-bands and the 3D $\pi$-bands have principally different impurityscattering rates and negligible interband scattering. This also explains asurprisingly small correlation between the defect concentration and $T_c$,expected for a two-gap superconductor. The large 3D carrier scattering ratesuggests their proximity to the localization limit.

We studied the voltage and temperature dependency of the dynamic conductanceof normal metal-MgB2 junctions obtained either with the point-contact technique(with Au and Pt tips) or by making Ag-paint spots on the surface ofhigh-quality single-crystal-like MgB2 samples. The fit of the conductancecurves with the generalized BTK model gives evidence of pure s-wave gapsymmetry. The temperature dependency of the gap, measured in Ag-paint junctions(dirty limit), follows the standard BCS curve with 2Delta/kTc = 3.3. Inout-of-plane, high-pressure point contacts we obtained almost ideal Andreevreflection characteristics showing a single small s-wave gap Delta = 2.6 +/-0.2 (clean limit). These results support the two-gap model ofsuperconductivity, the presence of a modified layer at the surface of thecrystals and an important and non-conventional role of the impurities in MgB2.