We develop an expansion for the Jacobian of the transformation from particlecoordinates to collective coordinates. As a demonstration, we use the lowestorder of the expansion in conjunction with a variational principle to obtainthe Percus Yevick equation for a monodisperse hard sphere system and theLebowitz equations for a polydisperse hard sphere system.

An overview is given of the experimental neutrino mixing results and types ofneutrino models proposed, with special attention to the general features ofvarious GUT models involving intra-family symmetries and horizontal flavorsymmetries. Many of the features are then illustrated by a specific SO(10) SUSYGUT model formulated by S.M. Barr and the author which can explain all fourtypes of solar neutrino mixing solutions by various choices of the right-handedMajorana mass matrix. The quantitative nature of the model's large mixing anglesolution is used to compare the reaches of a neutrino super beam and a neutrinofactory for determining the small U_{e3} mixing matrix element.

We show that the Nakayama automorphism of a Frobenius algebra $R$ over afield $k$ is independent of the field (Theorem 4). Consequently, the $k$-dualfunctor on left $R$-modules and the bimodule isomorphism type of the $k$-dualof $R$, and hence the question of whether $R$ is a symmetric $k$-algebra, areindependent of $k$. We give a purely ring-theoretic condition that is necessaryand sufficient for a finite-dimensional algebra over an infinite field to be asymmetric algebra (Theorem 7). Key words: Nakayama automorphism, Frobenius algebra, Frobenius ring,symmetric algebra, dual module, dual functor, bimodule, Brauer Equivalence.