We prove a non-existence theorem for smooth, supersymmetric, warped AdS6solutions with connected, compact without boundary internal space in D=11 and(massive) IIA supergravities. In IIB supergravity we show that if such AdS6solutions exist, then the NSNS and RR 3-form fluxes must be linearlyindependent and certain spinor bi-linears must be appropriately restricted.Moreover we demonstrate that the internal space admits an so(3) action whichleaves all the fields invariant and for smooth solutions the principal orbitsmust have co-dimension two. We also describe the topology and geometry ofinternal spaces that admit such a so(3) action and show that there are nosolutions for which the internal space has topology F * S^2, where F is anoriented surface.

We find attractor equations describing moduli stabilization for heteroticcompactifications with generic SU(3)-structure. Complex structure and K\"ahlermoduli are treated on equal footing by using SU(3)xSU(3)-structure atintermediate steps. All independent vacuum data, including VEVs of thestabilized moduli, is encoded in a pair of generating functions that depend onfluxes alone. We work out an explicit example that illustrates our methods.

In this paper we analyse formulas which reproduce different contributions toscattering amplitudes in N=4 super Yang-Mills theory through a Grassmannianintegral. Recently their Yangian invariance has been proved directly by usingthe explicit expression of the Yangian level-one generators. The specificcyclic structure of the form integrated over the Grassmannian enters in acrucial way in demonstrating the symmetry. Here we show that the Yangiansymmetry fixes this structure uniquely.

We study three-point functions of single-trace operators in the su(1|1)sector of planar N = 4 SYM borrowing several tools based on Integrability. Inthe most general configuration of operators in this sector, we have found adeterminant expression for the tree-level structure constants. We then comparethe predictions of the recently proposed hexagon program against all availabledata. We have obtained a match once additional sign factors are included whenthe two hexagon form-factors are assembled together to form the structureconstants. In the particular case of one BPS and two non-BPS operators wemanaged to identify the relevant form-factors with a domain wall partitionfunction of a certain six-vertex model. This partition function can beexplicitly evaluated and factorizes at all loops. In addition, we use thisresult to compute the structure constants and show that at strong coupling inthe so-called BMN regime, its leading order contribution has a determinantexpression.

We introduce a transverse field Ising model with order N^2 spins interactingvia a nonlocal quartic interaction. The model has an O(N,Z), hyperoctahedral,symmetry. We show that the large N partition function admits a saddle point inwhich the symmetry is enhanced to O(N). We further demonstrate that this`matrix saddle' correctly computes large N observables at weak and strongcoupling. The matrix saddle undergoes a continuous quantum phase transition atintermediate couplings. At the transition the matrix eigenvalue distributionbecomes disconnected. The critical excitations are described by large N matrixquantum mechanics. At the critical point, the low energy excitations are wavespropagating in an emergent 1+1 dimensional spacetime.