We continue the investigation into non-maximally symmetric compactificationsof the heterotic string. In particular, we consider compactifications where theinternal space is allowed to depend on two or more external directions. Forpreservation of supersymmetry, this implies that the internal space must ingeneral be that of a $Spin(7)$ manifold, which leads to a $1/4$-BPSfour-dimensional supersymmetric perturbative vacuum breaking all but onesupercharge. We find that these solutions allow for internal geometriespreviously excluded by the domain-wall-type solutions, and hence the resultingfour-dimensional superpotential is more generic. In particular, we find aninteresting resemblance to the superpotentials that appear in non-geometricflux compactifications of type II string theory. If the vacua are to be usedfor phenomenological applications, they must be lifted to maximal symmetry bysome non-perturbative or higher-order effect.

We propose a simple model of split supersymmetry from gauge mediation. Thismodel features gauginos that are parametrically a loop factor lighter thanscalars, accommodates a Higgs boson mass of 125 GeV, and incorporates a simplesolution to the $\mu-b_\mu$ problem. The gaugino mass suppression can beunderstood as resulting from collective symmetry breaking. Imposing colliderbounds on $\mu$ and requiring viable electroweak symmetry breaking impliessmall $a$-terms and small $\tan \beta$ -- the stop mass ranges from $10^5$ to$10^8 \mbox{ GeV}$. In contrast with models with anomaly + gravity mediation(which also predict a one-loop loop suppression for gaugino masses), our gaugemediated scenario predicts aligned squark masses and a gravitino LSP. Gluinos,electroweakinos and Higgsinos can be accessible at the LHC and/or futurecolliders for a wide region of the allowed parameter space.

We perform the step-scaling investigation of the running coupling constant,using the gradient-flow scheme, in SU(3) gauge theory with twelve masslessfermions in the fundamental representation. The Wilson plaquette gauge actionand massless unimproved staggered fermions are used in the simulations. Ourlattice data are prepared at high accuracy, such that the statistical error forthe renormalised coupling, g_GF, is at the subpercentage level. To investigatethe reliability of the continuum extrapolation, we employ two different latticediscretisations to obtain g_GF. For our simulation setting, the correspondinggauge-field averaging radius in the gradient flow has to be almost half of thelattice size, in order to have this extrapolation under control. We candetermine the renormalisation group evolution of the coupling up to g^2_GF ~ 6,before the onset of the bulk phase structure. In this infrared regime, therunning of the coupling is significantly slower than the two-loop perturbativeprediction, although we cannot draw definite conclusion regarding possibleinfrared conformality of this theory. Furthermore, we comment on the issueregarding the continuum extrapolation near an infrared fixed point. In additionto adopting the fit ansatz a'la Symanzik for performing this task, we discuss apossible alternative procedure inspired by properties derived from low-energyscale invariance at strong coupling. Based on this procedure, we propose afinite-size scaling method for the renormalised coupling as a means to searchfor infrared fixed point. Using this method, it can be shown that the behaviourof the theory around g^2_GF ~ 6 is still not governed by possible infraredconformality.

It has previously been conjectured that the theory of free fundamentalscalars minimally coupled to a Chern Simons gauge field is dual to the theoryof critical fundamental fermions minimally coupled to a level rank dual ChernSimons gauge field. In this paper we study RG flows away from these two fixedpoints by turning on relevant operators. In the t' Hooft large N limit wecompute the thermal partition along each of these flows and find a map ofparameters under which the two partition functions agree exactly with eachother all the way from the UV to the IR. We conjecture that the bosonic andfermionic RG flows are dual to each other under this map of parameters. Ourflows can be tuned to end at the gauged critical scalar theory and gauged freefermionic theories respectively. Assuming the validity of our conjecture, thistuned trajectory may be viewed as RG flow from the gauged theory of free bosonsto the gauged theory of free fermions.

We continue to investigate the $\mathcal{N}=1$ deformations offour-dimensional $\mathcal{N}=2$ superconformal field theories (SCFTs) labeledby a nilpotent element of the flavor symmetry. This triggers a renormalizationgroup (RG) flow to an $\mathcal{N}=1$ SCFT. We systematically analyze allpossible deformations of this type for certain classes of $\mathcal{N}=2$SCFTs: conformal SQCDs, generalized Argyres-Douglas theories and the $E_6$SCFT. We find a number of examples where the amount of supersymmetry getsenhanced to $\mathcal{N}=2$ at the end point of the RG flow. Most notably, wefind that the $SU(N)$ and $Sp(N)$ conformal SQCDs can be deformed to flow tothe Argyres-Douglas (AD) theories of type $(A_1, D_{2N-1})$ and $(A_1, D_{2N})$respectively. This RG flow therefore allows us to compute the fullsuperconformal index of the $(A_1,D_N)$ class of AD theories. Moreover, we findan infrared duality between $\mathcal{N}=1$ theories where the fixed point isdescribed by an $\mathcal{N}=2$ AD theory. We observe that the classes ofexamples that exhibit supersymmetry enhancement saturate certain bounds for thecentral charges implied by the associated two-dimensional chiral algebra.

In this paper, we derive generalized Bern-Carrasco-Johansson relations forcolor-ordered Yang-Mills amplitudes by imposing gauge invariance conditions anddimensional reduction appropriately on the new discovered graphic expansion ofEinstein-Yang-Mills amplitudes. These relations are also satisfied bycolor-ordered amplitudes in other theories such as color-scalar theory,bi-scalar theory and nonlinear sigma model (NLSM). As an application of thegauge invariance induced relations, we further prove that the three types ofBCJ numerators in NLSM , which are derived from Feynman rules, Abelian Z-theoryand Cachazo-He- Yuan formula respectively, produce the same total amplitudes.In other words, the three distinct approaches to NLSM amplitudes are equivalentto each other.