We study the supersymmetric extensions of the $O(3)$ $\sigma$-model in $1+1$and $2+1$ dimensions. We show that it is possible to construct non-equivalentsupersymmetric versions of a given model sharing the same bosonic sector andfree from higher-derivative terms.

As a most natural realization of the Next-to Minimal Supersymmetry StandardModel (NMSSM), {\lambda}-SUSY is parameterized by a large {\lambda} around oneand a low tan$\beta$ below 10. In this work, we first scan the parameter spaceof {\lambda}-SUSY by considering various experimental constraints, includingthe limitation from the Higgs data updated by the ATLAS and CMS collaborationsin the summer of 2014, then we study the properties of the Higgs bosons. We gettwo characteristic features of {\lambda}-SUSY in experimentally allowedparameter space. One is the triple self coupling of the SM-like Higgs boson mayget enhanced by a factor over 10 in comparison with its SM prediction. Theother is the pair production of the SM-like Higgs boson at the LHC may be twoorders larger than its SM prediction. All these features seems to beunachievable in the Minimal Supersymmetric Standard Model and in the NMSSM witha low {\lambda}. Moreover, we also find that naturalness plays an importantrole in selecting the parameter space of {\lambda}-SUSY, and that the Higgs$\chi^2$ obtained with the latest data is usually significantly smaller thanbefore due to the more consistency of the two collaboration measurements.

We derive some exact results concerning the anomalous U(1)$_A$ symmetry inthe chirally symmetric phase of QCD at high temperature. We discuss theimportance of topology and finite-volume effects on the U(1)$_A$ symmetryviolation characterized by the difference of chiral susceptibilities. Inparticular, we present a reliable method to measure the anomaly strength inlattice simulations with fixed topology. We also derive new spectral sum rulesand a novel Banks-Casher-type relation. Through our spectral analysis we arriveat a simple alternative proof of the Aoki-Fukaya-Taniguchi "theorem" on theeffective restoration of the U(1)$_A$ symmetry at high temperature.

Phenomenologically appealing supersymmetric grand unified theories have largegauge representations and thus are not asymptotically free. Their ultravioletvalidity is limited by the appearance of a Landau pole well before the Planckscale. One could hope that these theories save themselves, before the inclusionof gravity, by generating an interacting ultraviolet fixed point, similar tothe one recently discovered in non-supersymmetric gauge-Yukawa theories.Employing a-maximization, a-theorem, unitarity bounds, as well as positivity ofother central charges we nonperturbatively rule out this possibility for abroad class of prime candidates of phenomenologically relevant supersymmetricgrand unified theories. We also uncover candidates passing these tests, whichhave either exotic matter or contain one field decoupled from thesuperpotential. The latter class of theories contains a model with the minimalmatter content required by phenomenology.