Scattering amplitudes in 4d $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills theory (SYM) canbe described by Grassmannian contour integrals whose form depends on whetherthe external data is encoded in momentum space, twistor space, or momentumtwistor space. After a pedagogical review, we present a new, streamlined proofof the equivalence of the three integral formulations. A similar strategyallows us to derive a new Grassmannian integral for 3d $\mathcal{N}=6$ ABJMtheory amplitudes in momentum twistor space: it is a contour integral in anorthogonal Grassmannian with the novel property that the internal metricdepends on the external data. The result can be viewed as a central steptowards developing an amplituhedron formulation for ABJM amplitudes. Variousproperties of Grassmannian integrals are examined, including boundaryproperties, pole structure, and a homological interpretation of the globalresidue theorems for $\mathcal{N}=4$ SYM.

We investigate the prospects for discovering charginos and neutralinos at afuture $pp$ collider with $\sqrt{s} = 100$ TeV. We focus on models wheresquarks and sleptons are decoupled -- as motivated by the LHC data. Our initialstudy is based on models where Higgsinos form the main component of the LSP and$W$-inos compose the heavier chargino states ($M_2 > \mu$), though it isstraightforward to consider the reverse situation also. We show that in suchscenarios $W$-inos decay into $W^\pm$, $Z$ and $h$ plus neutralinos almostuniversally. In the $W Z$ channel we compare signal and background in variouskinematical distributions. We design simple but effective signal regions forthe trilepton channel and evaluate discovery reach and exclusion limits.Assuming 3000 fb$^{-1}$ of integrated luminosity, $W$-inos could be discovered(excluded) up to 1.1 (1.8) TeV if the spectrum is not compressed.

We study symmetries of quantum field theories involving topologicallydistinct sectors of the field space. To exhibit these symmetries we definespecial gauge invariant observables, which we call the $qq$-characters. In thecontext of the BPS/CFT correspondence, using these observables, we derive aninfinite set of Dyson-Schwinger-type relations. These relations imply that thesupersymmetric partition functions in the presence of $\Omega$-deformation anddefects obey the Ward identities of two dimensional conformal field theory andits $q$-deformations. The details will be discussed in the companion papers.

We apply on-shell and integrability methods that have been developed in thecontext of scattering amplitudes in N=4 SYM theory to tree-level form factorsof this theory. Focussing on the colour-ordered super form factors of thechiral part of the stress-tensor multiplet as an example, we show how tosystematically construct on-shell diagrams for these form factors with theminimal form factor as further building block in addition to the three-pointamplitudes. Moreover, we obtain analytic representations in terms ofGra{\ss}mannian integrals in spinor helicity, twistor and momentum twistorvariables. While Yangian invariance is broken by the operator insertion, wefind that the form factors are eigenstates of the integrable spin-chaintransfer matrix built from the monodromy matrix that yields the Yangiangenerators. Constructing them via the method of R operators allows to introducedeformations that preserve the integrable structure. We finally show that theintegrable properties extend to minimal tree-level form factors of genericcomposite operators as well as certain leading singularities of their n-pointloop-level form factors.

We study a set of examples of holographic duals to theories with spontaneousbreaking of conformal invariance in different dimensions. The geometries aredomain walls interpolating between two AdS spaces, with a non-trivialbackground scalar field dual to a relevant operator. We comment on a subtletyin the low momentum expansion pointed out in arXiv:1304.3051 for the case ofbackground gravity and revise the dynamical gravity results of arXiv:1207.0006,where the dilaton pole was missing in the scalar-scalar and tensor-tensortwo-point functions. We compute the energy-momentum tensor and scalar two-pointfunctions and show that there is indeed a massless dilaton pole.

Dismissing traditional naturalness concerns while embracing the Higgs bosonmass measurement and unification motivates careful analysis of trans-TeVsupersymmetric theories. We take an effective field theory (EFT) approach,matching the Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM) onto the StandardModel (SM) EFT by integrating out heavy superpartners, and evolving MSSM andSMEFT parameters according to renormalization group equations in each regime.Our matching calculation is facilitated by the recent covariant diagramsformulation of functional matching techniques, with the full one-loop SUSYthreshold corrections encoded in just 30 diagrams. Requiring consistentmatching onto the SMEFT with its parameters (those in the Higgs potential inparticular) measured at low energies, and in addition requiring unification ofbottom and tau Yukawa couplings at the scale of gauge coupling unification, wedetail the solution space of superpartner masses from the TeV scale to wellabove. We also provide detailed views of parameter space where Higgs couplingmeasurements have probing capability at future colliders beyond the reach ofdirect superpartner searches at the LHC.

We determine the small-$x$ asymptotics of the gluon helicity distribution ina proton at leading order in perturbative QCD at large $N_c$. To achieve this,we begin by evaluating the dipole gluon helicity TMD at small $x$. In theprocess we obtain an interesting new result: in contrast to the unpolarizeddipole gluon TMD case, the operator governing the small-$x$ behavior of thedipole gluon helicity TMD is different from the operator corresponding to thepolarized dipole scattering amplitude (used in our previous work to determinethe small-$x$ asymptotics of the quark helicity distribution). We thenconstruct and solve novel small-$x$ large-$N_c$ evolution equations for theoperator related to the dipole gluon helicity TMD. Our main result is thesmall-$x$ asymptotics for the gluon helicity distribution: $\Delta G \sim\left( \tfrac{1}{x} \right)^{\alpha_h^G}$ with $\alpha_h^G = \tfrac{13}{4\sqrt{3}} \, \sqrt{\tfrac{\alpha_s \, N_c}{2 \pi}} \approx 1.88 \,\sqrt{\tfrac{\alpha_s \, N_c}{2 \pi}}$. We note that the power $\alpha_h^G$ isapproximately 20$\%$ lower than the corresponding power $\alpha_h^q$ for thesmall-$x$ asymptotics of the quark helicity distribution defined by $\Delta q\sim \left( \tfrac{1}{x} \right)^{\alpha_h^q}$ with $\alpha_h^q =\tfrac{4}{\sqrt{3}} \, \sqrt{\tfrac{\alpha_s \, N_c}{2 \pi}} \approx 2.31 \,\sqrt{\tfrac{\alpha_s \, N_c}{2 \pi}}$ found in our earlier work.