We study the supersymmetric extensions of the $O(3)$ $\sigma$-model in $1+1$and $2+1$ dimensions. We show that it is possible to construct non-equivalentsupersymmetric versions of a given model sharing the same bosonic sector andfree from higher-derivative terms.

Using flavor SU(3) symmetry, we perform a model-independent analysis ofcharmless $\bar B_{u,d} (\bar B_s) \to PP, ~PV$ decays. All the relevanttopological diagrams, including the presumably subleading diagrams, such as theQCD- and EW-penguin exchange diagrams and flavor-singlet weak annihilationones, are introduced. Indeed, the QCD-penguin exchange diagram turns out to beimportant in understanding the data for penguin-dominated decay modes. In thiswork we make efforts to bridge the (model-independent but less quantitative)topological diagram or flavor SU(3) approach and the (quantitative but somewhatmodel-dependent) QCD factorization (QCDF) approach in these decays, byexplicitly showing how to translate each flavor SU(3) amplitude into thecorresponding terms in the QCDF framework. After estimating each flavor SU(3)amplitude numerically using QCDF, we discuss various physical consequences,including SU(3) breaking effects and some useful SU(3) relations among decayamplitudes of $\bar B_s \to PV$ and $\bar B_d \to PV$.

We derive some exact results concerning the anomalous U(1)$_A$ symmetry inthe chirally symmetric phase of QCD at high temperature. We discuss theimportance of topology and finite-volume effects on the U(1)$_A$ symmetryviolation characterized by the difference of chiral susceptibilities. Inparticular, we present a reliable method to measure the anomaly strength inlattice simulations with fixed topology. We also derive new spectral sum rulesand a novel Banks-Casher-type relation. Through our spectral analysis we arriveat a simple alternative proof of the Aoki-Fukaya-Taniguchi "theorem" on theeffective restoration of the U(1)$_A$ symmetry at high temperature.

Phenomenologically appealing supersymmetric grand unified theories have largegauge representations and thus are not asymptotically free. Their ultravioletvalidity is limited by the appearance of a Landau pole well before the Planckscale. One could hope that these theories save themselves, before the inclusionof gravity, by generating an interacting ultraviolet fixed point, similar tothe one recently discovered in non-supersymmetric gauge-Yukawa theories.Employing a-maximization, a-theorem, unitarity bounds, as well as positivity ofother central charges we nonperturbatively rule out this possibility for abroad class of prime candidates of phenomenologically relevant supersymmetricgrand unified theories. We also uncover candidates passing these tests, whichhave either exotic matter or contain one field decoupled from thesuperpotential. The latter class of theories contains a model with the minimalmatter content required by phenomenology.

The non-Abelian exponentiation theorem has recently been generalised tocorrelators of multiple Wilson line operators. The perturbative expansions ofthese correlators exponentiate in terms of sets of diagrams called webs, whichtogether give rise to colour factors corresponding to connected graphs. Thecolour and kinematic degrees of freedom of individual diagrams in a web areentangled by mixing matrices of purely combinatorial origin. In this paper werelate the combinatorial study of these matrices to properties of partiallyordered sets (posets), and hence obtain explicit solutions for certain familiesof web-mixing matrix, at arbitrary order in perturbation theory. We alsoprovide a general expression for the rank of a general class of mixingmatrices, which governs the number of independent colour factors arising fromsuch webs. Finally, we use the poset language to examine a previouslyconjectured sum rule for the columns of web-mixing matrices which governs thecancellation of the leading subdivergences between diagrams in the web. Ourresults, when combined with parallel developments in the evaluation ofkinematic integrals, offer new insights into the all-order structure ofinfrared singularities in non-Abelian gauge theories.