A ferromagnet with spin anisotropies on the 2D Kagome lattice is theoretically studied. This is a typical example of the flat-band ferromagnet. The Berry phase induced by the tilting of the spins opens the band gap and quantized Hall conductance \sigma_{xy}=\pm e^2/h is realized without external magnetic field. This is the most realistic chiral spin state based on the ferromagnetism. We also discuss the implication of our results to anomalous Hall effect observed in the metallic pyrochlore ferromagnets R_2Mo_2O_7(R=Nd, Sm, Gd).

In so-called $j_\mathrm{eff} = 1/2$ systems, including some iridates and ruthenates, the coherent superposition of $t_\mathrm{2g}$ orbitals in the ground state gives rise to hopping processes that strongly depend on the bond geometry. Resonant inelastic x-ray scattering (RIXS) measurements on CaIrO$_3$ reveal a prototypical $j_\mathrm{eff} = 1/2$ pseudospinon continuum, a hallmark of one-dimensional (1D) magnetic systems despite its three-dimensional crystal structure. The experimental spectra compare very well to the calculated magnetic dynamical structure factor of weakly coupled spin-1/2 chains. We attribute the onset of such quasi-1D magnetism to the fundamental difference in the magnetic interactions between the $j_\mathrm{eff} = 1/2$ pseudospins along the corner- and edge-sharing bonds in CaIrO$_3$.

The recent synthesis of ruthenium trihalides Ru$X_3$ ($X$ = Cl, Br, I) has enlarged the set of material candidates for Kitaev spin liquid. The realization of Kitaev model necessitates the formation of $J=1/2$ pseudospins in the octahedral crystal field. We use Ru $L_3$-edge resonant inelastic x-ray scattering to investigate the evolution of multiplet structures in Ru$X_3$. We identified quasi-elastic magnetic correlations and spin-orbit transitions to the $J=3/2$ states without discernible trigonal splitting, thereby validating the $J=1/2$ description of magnetism in the Ru$X_3$ family. Lineshape broadening in RuI$_3$ provides evidence for its bulk metallicity in the vicinity of a bandwidth-controlled metal-insulator transition. Our results highlight the pivotal role of halogen $p$ orbitals in controlling the electronic properties of Ru$X_3$.