LensMC is a weak lensing shear measurement method developed for Euclid and Stage-IV surveys. It is based on forward modelling to deal with convolution by a point spread function with comparable size to many galaxies; sampling the posterior distribution of galaxy parameters via Markov Chain Monte Carlo; and marginalisation over nuisance parameters for each of the 1.5 billion galaxies observed by Euclid. The scientific performance is quantified through high-fidelity images based on the Euclid Flagship simulations and emulation of the Euclid VIS images; realistic clustering with a mean surface number density of 250 arcmin$^{-2}$ ($I_{\rm E}<29.5$) for galaxies, and 6 arcmin$^{-2}$ ($I_{\rm E}<26$) for stars; and a diffraction-limited chromatic point spread function with a full width at half maximum of $0.^{\!\prime\prime}2$ and spatial variation across the field of view. Objects are measured with a density of 90 arcmin$^{-2}$ ($I_{\rm E}<26.5$) in 4500 deg$^2$. The total shear bias is broken down into measurement (our main focus here) and selection effects (which will be addressed elsewhere). We find: measurement multiplicative and additive biases of $m_1=(-3.6\pm0.2)\times10^{-3}$, $m_2=(-4.3\pm0.2)\times10^{-3}$, $c_1=(-1.78\pm0.03)\times10^{-4}$, $c_2=(0.09\pm0.03)\times10^{-4}$; a large detection bias with a multiplicative component of $1.2\times10^{-2}$ and an additive component of $-3\times10^{-4}$; and a measurement PSF leakage of $\alpha_1=(-9\pm3)\times10^{-4}$ and $\alpha_2=(2\pm3)\times10^{-4}$. When model bias is suppressed, the obtained measurement biases are close to Euclid requirement and largely dominated by undetected faint galaxies ($-5\times10^{-3}$). Although significant, model bias will be straightforward to calibrate given the weak sensitivity.

Core ellipticals, which are massive early-type galaxies with almost constant inner surface brightness profiles, are the result of dry mergers. During these events, a binary black hole (BBH) is formed, destroying the original cuspy central regions of the merging objects and scattering stars that are not on tangential orbits. The size of the emerging core correlates with the mass of the finally merged black hole (BH). Therefore, the determination of the size of the core of massive early-type galaxies provides key insights not only into the mass of the black hole, but also into the origin and evolution of these objects. In this work, we report the first dynamical mass determination of a supermassive black hole (SMBH). To this end, we study the center of NGC 1272 the second most luminous elliptical galaxy in the Perseus cluster, combining the Visible Camera (VIS) photometry coming from the Early Release Observations (EROs) of the Perseus cluster with the Visible Integral-field Replicable Unit Spectrograph (VIRUS) spectroscopic observations at the Hobby-Eberly Telescope (HET). The core of NGC 1272 is detected on the VIS image. Its size is $1 or 0.45 which was determined by fitting PSF-convolved core-S\'ersic and Nuker-law functions. We deproject the surface brightness profile of the galaxy finding that the galaxy is axisymmetric and nearly spherical. The two-dimensional stellar kinematics of the galaxy is measured from the VIRUS spectra by deriving optimally regularized non-parametric line-of-sight velocity distributions. Dynamical models of the galaxy are constructed using our axisymmetric and triaxial Schwarzschild codes. We measure a BH mass of $(5 which is in line with the expectation from the BH $--$r_ b $ correlation, but is eight times larger than predicted by the $M_ BH $--sigma correlation (at $1.8 significance). The core size, rather than the velocity dispersion, allows one to select galaxies harboring the most massive BHs. The spatial resolution, wide area coverage, and depth of the (Wide and Deep) surveys allow us to find cores of passive galaxies that are larger than 2 at a redshift of up to 1.

We forecast the expected population of active galactic nuclei (AGN) observable in the Euclid Wide Survey (EWS) and Euclid Deep Survey (EDS). Starting from an X-ray luminosity function (XLF), we generated volume-limited samples of the AGN expected in the survey footprints. Each AGN was assigned a spectral energy distribution (SED) appropriate for its X-ray luminosity and redshift, with perturbations sampled from empirical distributions. The photometric detectability of each AGN was assessed via mock observations of the assigned SED. We estimate 40 million AGN will be detectable in at least one band in the EWS and 0.24 million in the EDS, corresponding to surface densities of $ and $. The relative uncertainty on our expectation for detectable AGN is 6.7<!PCT!> for the EWS and 12.5<!PCT!> for the EDS, driven by the uncertainty of the XLF. Employing colour selection criteria on our simulated data we select a sample of $) AGN in the EWS and $) in the EDS, amounting to 10<!PCT!> and 8<!PCT!> of the AGN detectable in the EWS and EDS. Including ancillary Rubin/LSST bands improves the completeness and purity of AGN selection. These data roughly double the total number of selected AGN to comprise 21<!PCT!> and 15<!PCT!> of the detectable AGN in the EWS and EDS. The total expected sample of colour-selected AGN contains 6.0\,times \,106 (74<!PCT!>) unobscured AGN and 2.1\,times \,106 (26<!PCT!>) obscured AGN, covering $0.02 z 5.2$ and $43 (L_ bol erg s 47$. With these simple colour cuts expected surface densities are already comparable to the yield of modern X-ray and mid-infrared surveys of similar area. The EWS sample is most comparable to the WISE C75 AGN selection and the EDS sample is most similar to the yield of the collated Spitzer cryogenic surveys when considering bands alone, or the XXL-3XLSS survey AGN sample when also considering selection with ancillary optical bands We project that 15<!PCT!> (7.6<!PCT!>) of the total detectable population in the EWS (EDS) will exhibit X-ray fluxes that could be detected in the XMM-COSMOS survey, showing that the vast majority of AGN would not be detectable in modern medium-depth X-ray surveys.