This paper gives a historical review of the theories that have been developed for the analysis of multilayered structures. Attention has been restricted to the so-called Zig-Zag theories, which describe a piecewise continuous displacement field in the plate thickness direction and fulfill interlaminar continuity of transverse stresses at each layer interface. Basically, plate and shell geometries are addressed, even though beams are also considered in some cases. Models in which the number of displacement variables is kept independent of the number of constitutive layers are discussed to the greatest extent. Attention has been restricted to those plate and shell theories which are based on the so-called method of hypotheses or axiomatic approach in which assumptions are introduced for displacements and/or transverse stresses. Mostly, the work published in the English language is reviewed. However, an account of a few articles originally written in Russian is also given. The historical review conducted has led to the following main conclusions. 1) Lekhnitskii (1935) was the first to propose a Zig-Zag theory, which was obtained by solving an elasticity problem involving a layered beam. 2) Two other different and independent Zig-Zag theories have been singled out. One was developed by Ambartsumian (1958), who extended the well-known Reissner-Mindlin theory to layered, anisotropic plates and shells; the other approach was introduced by Reissner (1984), who proposed a variational theorem that permits both displacements and transverse stress assumptions. 3) On the basis of historical considerations, which are detailed in the paper, it is proposed to refer to these three theories by using the following three names: Lekhnitskii Multilayered Theory, (LMT), Ambartsumian Multilayered Theory (AMT), and Reissner Multilayered Theory (RMT). As far as subsequent contributions to these three theories are concerned, it can be remarked that: 4) LMT although very promising, has almost been ignored in the open literature. 5) Dozens of papers have instead been presented which consist of direct applications or particular cases of the original AMT. The contents of the original works have very often been ignored, not recognized, or not mentioned in the large number of articles that were published in journals written in the English language. Such historical unfairness is detailed in Section 3.2. 6) RMT seems to be the most natural and powerful method to analyze multilayered structures. Compared to other theories, the RMT approach has allowed from the beginning development of models which retain the fundamental effect related to transverse normal stresses and strains. This review article cites 138 references.

7R28. Thin Plates and Shells: Theory, Analysis, and Applications. - E Ventsel (Eng Sci and Mech Dept, Penn State, Univ Park PA 16802) and T Krauthammer (Protective Tech Center, Penn State, Univ Park PA 16802). Marcel Dekker, New York. 2001. 666 pp. ISBN 0-8247-0575-0. $175.00. Reviewed by E Carrera (Dept of Aerospace Eng, Politecnico di Torino, Corso Duca Degli Abruzzi 24, Torino, 10129, Italy)."Thin plates," "thin shells," and "thin plates and shells" are classical subjects for books. Eminent scientists, such as Vlasov, Flu¨gge, Novozhilov, Timoschenko, Washizu, Kraus, Gold'enveizer, Cicala, Librescu, Donnell, Vekua, and Leissa among others, have written milestone books on the topic. All of these books are, with no doubt, excellent sources for the analysis of two-dimensional structures. Most of these classical books have appeared in the middle of the last century and, in the same case each book states the point of view of each scientist on plate and shell theories. A few books on plates and shells are known which have been published in the recent past. Among these the book by Ventsel and Krauthammer is one of the most useful and exhaustive. It includes both plate and shell geometries as well as theories and solutions of practical problems. Ventsel and Krauthammer present several topics in a manner which results in a brilliant selection of different possible ways to see plates and shells as they are known by the classical books mentioned above. This book is a good synthesis of West and East Schools of knowledge on plates and shells. It is clearly written, self complete, and rich with examples as well as of applications to practical problems. The authors have shown their own ability in writing a book on plates and shells avoiding vectorial or tensorial notations which could introduce difficulties to beginners. The editorial form is quite well done: figures, plots, formulas, and texts are very well balanced in each chapter and on each page. The book has been divided in two parts which deal with thin plates and thin shells, respectively. Each part quotes introduction, fundamentals, membrane and bending response, buckling, and vibrations. A brief description of the book's layout is given below. Part I is first considered. Chapter 1 offers a very interesting historical note on plates theories. Fundamentals of elasticity relations are recalled in a Cartesian reference system. Kirchhoff's thin plate theory has been described in Chapter 2; governing equations are derived by using both elasticity relations and variational statements. Bending of rectangular plates are treated in Chapter 3; a large variety of practical problems have been solved by considering different geometries, boundary conditions and applied loadings. Chapter 4 has been devoted to circular plates. Polar coordinates have been preferred in this case. Other geometries, such as elliptical and triangular plates have been solved in Chapter 5. Approximated solution methods and their applications are discussed in Chapter 6 in which Finite Difference, Finite Element, and Boundary Element Methods are introduced and applied to two-dimensional flat structures. Advanced topics are addressed in Chapter 7; thermoelastic problems, stiffened plates, orthotropic behavior, refined theories accounting for transverse shear deformation effects, geometrically nonlinear behavior, layered, and sandwich plates are considered. Buckling of plates has been considered in Chapter 8; introductory concepts are first introduced, buckling of rectangular and circular plates are then solved by application of equilibrium and energy methods. Results are also given for stiffened, orthotropic, and sandwich plates. Large deflection and post-buckling response have also been treated in this chapter. Dynamic problems are considered in Chapter 9. Thin shells theory and analysis begin with Chapter 10. This chapter introduces shell structure and makes an historical note on main shell theory contributions and developments. Concepts related to differential geometry of surfaces are given in Chapter 11. First and second fundamental forms are derived and particularized to several geometrical shell configurations (shell of revolution, cylindrical, and conical). Linear elasticity relations in curvilinear coordinates and in the framework of Kirchhoff-Love postulates are presented in Chapter 12. Membrane shell theories and applications are considered in Chapters 13 and 14, respectively. Methods, solution techniques, and results are presented for a large variety of problems, such as roof shell structures, liquid storage facilities, and pressurized vessels. So called moment theory has been addressed in Chapter 15 for circular cylindrical cases. The asymptotic integration method has been used to solve the differential equations of cylindrical shell subjected to general loadings. Solutions of particular cases are presented in the same chapter. Extension to shells of revolution is given in Chapter 16. Other well known approximated shell theories are discussed and applied in Chapter 17. The advanced topic already discussed in Chapter 8 for the plate cases, are extended to shells in Chapter 18. In addition, Chapter 18 gives details of the application of Newton's Method to solve nonlinear problems. Buckling and vibration problems of shells are discussed in Chapters 19 and 20, respectively. Five Appendices close the book. The first one quotes useful data while the others detail some derivations which were not explicitly given in the previous chapters. This reviewer's opinion is Thin Plates and Shells: Theory, Analysis, and Applications by Ventsel and Krauthammer contains those basics and advanced arguments that should be known to any engineer or scientist who is supposed to work with plate and shell structures.

In this paper the authors derive a higher-order shear deformation theory for modeling functionally graded plates accounting for extensibility in the thickness direction. The explicit governing equations and boundary conditions are obtained using the principle of virtual displacements under Carrera’s Unified Formulation. The static and eigenproblems are solved by collocation with radial basis functions. The efficiency of the present approach is assessed with numerical results including deflection, stresses, free vibration, and buckling of functionally graded isotropic plates and functionally graded sandwich plates.

This review article is devoted to the use of the Reissner Mixed Variational Theorem (RMVT) forward two-dimensional modeling of flat and curved, multilayer structures. A thorough review of the literature involving the use in the modeling of multilayered plates and shells using RMVT is also presented. In the first part, the paper overviews relevant key points that should be taken into account for an accurate description of strain and stress fields in multilayered plate and shell analysis. It is then shown that RMVT has been originated in view of the fulfillment of such key points, herein referred to as C0-Requirements (zig-zag form of the displacement fields in the thickness direction and continuity of transverse normal and shear stresses at each layer interface). Classical variational statements are used to introduce Reissner’s Theorem. In the second part, the paper presents various ways in which RMVT can be used to develop plate and shell theories in a systematic manner. The so called layer-wise and equivalent single layer variable description are considered. Both strong and weak (finite element) forms of governing equations have been derived. A Weak Form of Hooke’s Law (WFHL), is also discussed as an idea to eliminate transverse stress variables leading to standard classical models with only displacement unknowns. Two appendices display details of governing equations related to multilayered doubly curved shells and to finite element matrices of multilayered plates. A third part reviews the works that have appeared in literature which make use of RMVT. Mainly papers on multilayered plate and shell modelings have been addressed. The final part of the paper is devoted to giving an overview with selected results of numerical performance that can be acquired by RMVT applications; extensive comparison to elasticity solutions and to other significant analyses, based on classical and refined approaches, are given. It is concluded that Reissner’s Mixed Theorem should be considered as a natural tool for multilayered structure analyses; it plays a similar role to that of the Principle of Virtual Displacement in the analysis of isotropic single-layer structures. This review article includes 119 references.

In this paper we present a new application for Carrera’s unified Formulation (CUF) to analyse functionally graded plates. In this paper the authors present explicit governing equations of a sinusoidal shear deformation theory for functionally graded plates. It addresses the bending and free vibration analysis and accounts for through-the-thickness deformations. The equations of motion are interpolated by collocation with radial basis functions. Numerical examples demonstrate the efficiency of the present approach.

The present work evaluates the effect of thickness stretching in plate/shell structures made by materials which are functionally graded (FGM) in the thickness directions. That is done by removing or retaining the transverse normal strain in the kinematics assumptions of various refined plate/shell theories. Variable plate/shell models are implemented according to Carrera’s Unified Formulation. Plate/shell theories with constant transverse displacement are compared with the corresponding linear to fourth order of expansion in the thickness direction ones. Single-layered and multilayered FGM structures have been analyzed. A large numerical investigation, encompassing various plate/shell geometries as well as various grading rates for FGMs, has been conducted. It is mainly concluded that a refinements of classical theories that include additional in-plane variables could results meaningless unless transverse normal strain effects are taken into account.

This paper presents a comprehensive review of the various methods employed to study the static, dynamic and stability behavior of Functionally Graded Material (FGM) plates. Both analytical and numerical methods are considered. The review is carried out with an emphasis to present stress, vibration and buckling characteristics of FGM plates predicted using different theories proposed by several researchers without considering the detailed mathematical implication of various methodologies. The effect of variation of material properties through the thickness, type of load case, boundary conditions, edge ratio, side-to-thickness ratio and the effect of nonlinearity on the behavior of FGM plates are discussed. The main objective of this paper is to serve the interests of researchers and engineers already involved in the analysis and design of FGM structures.

A large variety of plate theories are described and assessed in the present work to evaluate the bending and vibration of sandwich structures. A brief survey of available works is first given. Such a survey includes significant review papers and latest developments on sandwich structure modelings. The kinematics of classical, higher order, zigzag, layerwise, and mixed theories is described. An exhaustive numerical assessment of the whole theories is provided in the case of closed form solutions of simply supported panels made of orthotropic layers. Reference is made to the unified formulation that has recently been introduced by the first author for a plate/shell analysis. Attention has been given to displacements, stresses (both in-plane and out-of-plane components), and the free vibration response. Only simply supported orthotropic panels loaded by a transverse distribution of bisinusoidal pressure have been analyzed. Five benchmark problems are treated. The accuracy of the plate theories is established with respect to the length-to-thickness-ratio (LTR) geometrical parameters and to the face-to-core-stiffness-ratio (FCSR) mechanical parameters. Two main sources of error are outlined, which are related to LTR and FCSR, respectively. It has been concluded that higher order theories (HOTs) can be conveniently used to reduce the error due to LTR in thick plate cases. But HOTs are not effective in increasing the accuracy of the classical theory analysis whenever the error is caused by increasing FCSR values; layerwise analysis becomes mandatory in this case.