The study consists of the distinct types of the exact soliton solutions to an important model called the beta-time fractional (1 + 1)-dimensional non-linear Van der Waals equation. This model is used to explain the motion of molecules and materials. The Van der Waals equation explains the phase separation phenomenon. Noncovalent Van der Waals or dispersion forces usually have an effect on the structure, dynamics, stability, and function of molecules and materials in different branches of science, including biology, chemistry, materials science, and physics. Solutions are obtained, including dark, dark-singular, periodic wave, singular wave, and many more exact wave solutions by using the modified extended tanh function method. Using the fractional derivatives makes different solutions different from the existing solutions. The gained results will be of high importance in the interaction of quantum-mechanical fluctuations, granular matters, and other applications of the Van der Waals equation. The solutions may be useful in distinct fields of science and civil engineering, as well as some basic physical ones like those studied in geophysics. The results are verified and represented by two-dimensional, three-dimensional, and contour graphs by using Mathematica software. The obtained results are newer than the existing results. Stability analysis is also performed to check the stability of the concerned model. Furthermore, modulation instability is studied to study the stationary solutions of the concerned model. The results will be helpful in future studies of the concerned system. In the end, we can say that the method used is straightforward and dynamic, and it will be a useful tool for debating tough issues in a wide range of fields.

This paper presents the mathematical and physical analysis, as well as distinct types of exact wave solutions, of an important fluid flow dynamics model called the truncated M-fractional (1+1)-dimensional nonlinear Estevez–Mansfield–Clarkson (EMC) equation. This model is used to explain waves in shallow water, fluid dynamics, and other areas. We obtain kink, bright, singular, and other types of exact wave solutions using the modified extended direct algebraic method and the improved (G′/G)-expansion method. Some solutions do not exist. These solutions may be useful in different areas of science and engineering. The results are represented as three-dimensional, contour, and two-dimensional graphs. Stability analysis is also performed to check the stability of the corresponding model. Furthermore, modulation instability analysis is performed to study the stationary solutions of the corresponding model. The results will be helpful for future studies of the corresponding system. The methods used are easy and useful.

<p>This research explores some modernistic soliton solutions to the (3+1)-dimensional periodic potential the Gross–Pitaevskii equation with a truncated M-fractional derivative plays a significant role in Bose–Einstein condensation, which describes the dynamics of the condensate wave function. The obtained results include trigonometric, hyperbolic trigonometric and exponential function solutions. Three techniques named: the $ \exp_a $ function method, the Sardar sub-equation method, and the extended $ (G'/G) $-expansion approach are employed to achieve a variety of new solutions for the governing model. More comprehensive information about the dynamical representation of some of the solutions is being presented by visualizing the 2D, 3D and contour plots. This work reveals a number of new types of traveling-wave solutions, such as the double periodic singular, the periodic singular, the dark singular, the dark kink singular, the periodic solitary singular, and the singular soliton solutions. These novel solutions are not the same as those that were previously studied for this governing equation. The presented techniques demonstrate clarity, efficacy, and simplicity, revealing their relevance to diverse sets of dynamic and static nonlinear equations pertaining to evolutionary events in computational physics, in addition to other real-world applications and a wide range of study fields for addressing a variety of other nonlinear fractional models that hold significance in the fields of applied science and engineering.</p>