We review recent results on QCD at finite temperature. Main emphasis is puton a discussion of observables which are of immediate interest to experimentalsearches for the Quark Gluon Plasma, i.e. the phase transition temperature, theequation of state in 2 and 3-flavour QCD, the heavy quark free energy andthermal effects on hadron masses.

We study the spin-polarization mechanism in the highly dense nuclear matterwith the relativistic mean-field approach. In the relativistic Hartree-Fockframework we find that there are two kinds of spin-spin interaction channels,which are the axial-vector and tensor exchange ones. If each interaction isstrong and different sign, the system loses the spherical symmetry and holdsthe spin-polarization in the high-density region. When the axial-vectorinteraction is negative enough, the system holds ferromagnetism.

Massless fermion field interacting with abelian dynamical gauge field on2-dimensional random-block lattices are investigated using Hybrid Monte Carlosimulations. Preliminary results of the Wilson loop and the chiral correlationfunction are in agreement with the continuum Schwinger model.

We analyse the structure of solutions of the Ginsparg-Wilson relation forlattice Dirac operator in topologically trivial gauge sector. We show that theproperties of such solutions relating to the perturbative stability of the poleof the fermion propagator as well as to the structure of the Yukawa modelsbased on these solutions are solely determined by the non-local chirallyinvariant part of these Dirac operators. Depending on the structure of thispart, the pole in the fermion propagator may or may not be stable underradiative corrections. We illustrate this by explicit examples.

The axial anomaly of Ginsparg-Wilson fermion operator $D$ is discussed ingeneral for the operator $R$ which enters the chiral symmetry breaking part inthe Ginsparg-Wilson relation. The axial anomaly and the index of $D$ as well asthe exact realization of the Atiyah-Singer index theorem on the lattice aredetermined solely by the topological characteristics of the chirally symmetricoperator $D_c$ in the chiral limit $ R \to 0 $.

We consider bounds on light quark masses that follow from positivity of thepseudoscalar correlator spectral function plus the assumption that perturbativeQCD is valid for the correlator and its derivatives up to order $N$ for momenta$t\geq\hat{t}$. We find that the bounds vary a lot depending on the assumedvalue of $\hat{t}$ and even, if it is too small ($\hat{t}\simeq 1.5, 1.6, 2.1Gev^2$ for respectively $N=0, 1, 2$), that there is incompatibility between theasumption of validity of perturbative QCD and positivity. This allows us toestablish a criterion for the values of $\hat{t}$ admissible, and to get upperand lower bounds for $m_s$ and upper bounds for $m_d+m_u, m_d-m_u$. The upperbounds are not particularly interesting, but the lower ones are very tight;specifically we find $$240 Mev\leq m_s; 16 Mev\leq m_d+m_u$$ if we assumeperturbative QCD to give a valid description of the correlator for $t\geq 2.2Gev^2$; or, if it only holds for $t\geq 4.5 Gev^2$ then $$150 Mev\leq m_s; 10Mev\leq m_d+m_u.$$ Here the masses are running masses defined at $1 Gev$. Wealso show reasonable models where the bounds are saturated. The results suggestthat some of the current estimates of the light quark masses are less precisethan ordinarily claimed.

We derive rigorous lower bounds for the combinations of light quark masses(m_s+m_u) and (m_d+m_u).

I review the lattice formulations of vector-like gauge theories (e.g. QCD)with domain-wall fermions, and discuss how to optimize the chiral symmetry forany finite N_s (in the fifth dimension), as well as to eliminate its dependenceon a_5.