Abstract In this paper, we investigate a scenario concerning a coupled nonlocal singular viscoelastic equation with sources and distributed delay terms. By establishing suitable conditions, we have proved that a finite-time blow-up occurs in the solution.

This study proposes a fractional-order model in the Caputo sense to describe the interaction between tumor and immune macrophages by assuming that the pro-tumor macrophages induce a Holling type-II response to the tumor. Then, the basic properties of the solutions to the model are studied. Local stability analysis is conducted at each of the equilibria in the model, and a numerical study is performed with varying activation rates of type-II or pro-tumor macrophages and the order of the fractional operator. The numerical findings suggest that type-I or anti-tumor macrophages can stabilize the system if the activation rate of type-II or pro-tumor macrophages is low. Still, for a higher value of the activation rate for type-II or pro-tumor macrophages, the proliferation of tumor cells is uncontrollable and the system becomes unstable. Furthermore, the stability of the system decreases as the order of the fractional operator increases.

The pathogens of dengue and chikungunya are transmitted by Aedes aegypti mosquitoes, presenting a significant likelihood of vectors and hosts being concurrently infected by both viruses. We present biological insights into the co-infection of chikungunya and dengue to elucidate the phenomena clearly. Therefore, we develop a mathematical model to conceptualize the intricate dynamics of chikungunya and dengue co-infection. We investigate the models of dengue fever and chikungunya separately, examining their local and global asymptotic stability. It has been shown that these models have a unique endemic steady state. Moreover, we demonstrate that both diseases are uniformly persistent when the reproduction parameter exceeds one. The endemic indicator, which is the reproduction value of the co-infected model, is computed as the maximum of the reproduction values of dengue and chikungunya. Moreover, the theory of optimal control is implemented using four distinct strategies to reduce infection levels: prevention through insect repellents, control via vaccination, and vector reduction through larvicides and adulticides. Finally, we investigate the system numerically to illustrate the overall dynamics of co-infection under optimal control measures and to assess the effectiveness of these control policies.

This paper explains and applies a numerical technique utilizing the cubic B-spline functions and the mean value theorem (MVT) to solve a general time fractional partial differential equation (FPDE). The MVT for integrals enables us to approximate the time fractional derivatives in an appropriate simple form. We use the cubic B-spline functions to construct the numerical solution and its spatial derivatives. The great advantage of our technique is that it enables us to approximate solutions of many time FPDEs for several choices of F(x, t, u, ux, uxx). Two numerical examples have been included to emphasize the accuracy and efficiency of the method. It is demonstrated that the numerical method is unconditionally stable by employing the Von Neumann method (VNM).

In this paper, we prove the existence of at least two weak solutions to a class of singular two-phase problems with variable exponents involving a ψ-Hilfer fractional operator and Dirichlet-type boundary conditions when the term source is dependent on one parameter. Here, we use the fiber method and the Nehari manifold to prove our results.