We examine a coupled Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan (cRKL) equation that includes self-phase modulation, third order dispersion, self-steepening, and cross-phase modulation effects. A propagating ultrafast pulse in nonlinear systems is described by the given equation. Utilizing the coupled Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan (cRKL) model, we explored the dynamics of various innovative optical solitons, such as wing-shaped, W-shaped, and brilliant solitons. We used mathematical methods like the Jacobi elliptical sn function method to get the exact analytical solution. Our results demonstrate that the self-phase modulation (SPM), self-steepening (SS), cross-phase modulation (XPM), and third order dispersion (TOD) can be effectively varied to influence the structure of the solitons. It is demonstrated that the precise balance between the self-steepening effect, the self-phase modulation, and the group velocity dispersion forms these novel W-shaped chirp-free dark solitons and dark and bright solitonic structures. By choosing appropriate settings for the physical variables, it is possible to create a graphic representation of the properties of optical solitons. The study and application of nonlinear materials with third order dispersion, cross-phase modulation, self-phase modulation effect, and self-steepening nonlinearity may take new paths as a result of our findings.

The current study modeled groundwater pollution through the utilization of the advection–diffusion equation - a versatile differential equation that is capable of modeling a variety of real-life processes. Indeed, various methods of solutions were then proposed to examine the governing model after being transformed, starting with Lie's symmetry, semi-analytical, and numerical methods, including the explicit and implicit finite difference method and the finite element method. Further, the proposed methods were demonstrated on some test models; featuring forced and unforced scenarios of the forcing function. Analytically, Lie's symmetry method failed to unswervingly reveal the required solution to the problem; however, with the imposition of certain restrictions, a generalized closed-form solution for the forced model was acquired. This fact indeed triggered the quest for the deployment of more methods. Thus, semi-analytically, the adopted decomposition method swiftly gave the resultant closed-form solutions. Numerically, the efficiency of the sought methods was assessed using the L2−norm and CPU time, upon which the implicit schemes were found to win the race. All-in-all, the beseeched semi-analytical method is highly recommended for such investigation; at the same time advocating the effectiveness of the implicit finite difference schemes on advection–diffusion-related equations.