This tutorial introduces the reader to Gaussian process regression as an expressive tool to model, actively explore and exploit unknown functions. Gaussian process regression is a powerful, non-parametric Bayesian approach towards regression problems that can be utilized in exploration and exploitation scenarios. This tutorial aims to provide an accessible introduction to these techniques. We will introduce Gaussian processes which generate distributions over functions used for Bayesian non-parametric regression, and demonstrate their use in applications and didactic examples including simple regression problems, a demonstration of kernel-encoded prior assumptions and compositions, a pure exploration scenario within an optimal design framework, and a bandit-like exploration–exploitation scenario where the goal is to recommend movies. Beyond that, we describe a situation modelling risk-averse exploration in which an additional constraint (not to sample below a certain threshold) needs to be accounted for. Lastly, we summarize recent psychological experiments utilizing Gaussian processes. Software and literature pointers are also provided.

Abstract We introduce the Berlin Numeracy Test, a new psychometrically sound instrument that quickly assesses statistical numeracy and risk literacy. We present 21 studies ( n =5336) showing robust psychometric discriminability across 15 countries (e.g., Germany, Pakistan, Japan, USA) and diverse samples (e.g., medical professionals, general populations, Mechanical Turk web panels). Analyses demonstrate desirable patterns of convergent validity (e.g., numeracy, general cognitive abilities), discriminant validity (e.g., personality, motivation), and criterion validity (e.g., numerical and non-numerical questions about risk). The Berlin Numeracy Test was found to be the strongest predictor of comprehension of everyday risks (e.g., evaluating claims about products and treatments; interpreting forecasts), doubling the predictive power of other numeracy instruments and accounting for unique variance beyond other cognitive tests (e.g., cognitive reflection, working memory, intelligence). The Berlin Numeracy Test typically takes about three minutes to complete and is available in multiple languages and formats, including a computer adaptive test that automatically scores and reports data to researchers ( http://www.riskliteracy.org ). The online forum also provides interactive content for public outreach and education, and offers a recommendation system for test format selection. Discussion centers on construct validity of numeracy for risk literacy, underlying cognitive mechanisms, and applications in adaptive decision support.

Abstract How do people plan ahead when searching for rewards? We investigate planning in a foraging task in which participants search for rewards on an infinite two-dimensional grid. Our results show that their search is best-described by a model which searches at least 3 steps ahead. Furthermore, participants do not seem to update their beliefs during planning, but rather treat their initial beliefs as given, a strategy similar to a heuristic called root-sampling . This planning algorithm corresponds well with participants’ behavior in test problems with restricted movement and varying degrees of information, outperforming more complex models. These results enrich our understanding of adaptive planning in complex environments.

We introduce the contextual multi-armed bandit task as a framework to investigate learning and decision making in uncertain environments. In this novel paradigm, participants repeatedly choose between multiple options in order to maximise their rewards. The options are described by a number of contextual features which are predictive of the rewards through initially unknown functions. From their experience with choosing options and observing the consequences of their decisions, participants can learn about the functional relation between contexts and rewards and improve their decision strategy over time. In three experiments, we explore participants’ behaviour in such learning environments. We predict participants’ behaviour by context-blind (mean-tracking, Kalman filter) and contextual (Gaussian process and linear regression) learning approaches combined with different choice strategies. Participants are mostly able to learn about the context-reward functions and their behaviour is best described by a Gaussian process learning strategy which generalizes previous experience to similar instances. In a relatively simple task with binary features, they seem to combine this learning with a “probability of improvement” decision strategy which focuses on alternatives that are expected to lead to an improvement upon a current favourite option. In a task with continuous features that are linearly related to the rewards, participants seem to more explicitly balance exploration and exploitation. Finally, in a difficult learning environment where the relation between features and rewards is non-linear, some participants are again well-described by a Gaussian process learning strategy, whereas others revert to context-blind strategies.

Abstract How do people explore in order to gain rewards in uncertain dynamical systems? Within a reinforcement learning paradigm, control normally involves trading off between exploration (i.e. trying out actions in order to gain more knowledge about the system) and exploitation (i.e. using current knowledge of the system to maximize reward). We study a novel control task in which participants must steer a boat on a grid, aiming to follow a path of high reward whilst learning how their actions affect the boat’s position. We find that participants explore strategically yet conservatively, exploring more when mistakes are less costly and practicing actions that will be required later on.

Abstract People can learn about the effects of their actions either by performing physical experiments or by running mental simulations. Physical experiments are reliable but risky; mental simulations are unreliable but safe. We investigate how people negotiate the balance between these strategies. Participants attempted to shoot a ball at a target, and could pay to take practice shots (physical experiments). They could also simply think (run mental simulations), but were incentivized to act quickly by paying for time. We demonstrate that the amount of thinking time and physical experiments is sensitive to trial characteristics in a way that is consistent with a model that integrates information across simulation and experimentation and decides online when to perform each.

Abstract Learning and generalization in spatial domains is often thought to rely on a “cognitive map”, representing relationships between spatial locations. Recent research suggests that this same neural machinery is also recruited for reasoning about more abstract, conceptual forms of knowledge. Yet, to what extent do spatial and conceptual reasoning share common computational principles, and what are the implications for behavior? Using a within-subject design we studied how participants used spatial or conceptual distances to generalize and search for correlated rewards in successive multi-armed bandit tasks. Participant behavior indicated sensitivity to both spatial and conceptual distance, and was best captured using a Bayesian model of generalization that formalized distance-dependent generalization and uncertainty-guided exploration as a Gaussian Process regression with a radial basis function kernel. The same Gaussian Process model best captured human search decisions and judgments in both domains, and could simulate realistic learning curves, where we found equivalent levels of generalization in spatial and conceptual tasks. At the same time, we also find characteristic differences between domains. Relative to the spatial domain, participants showed reduced levels of uncertainty-directed exploration and increased levels of random exploration in the conceptual domain. Participants also displayed a one-directional transfer effect, where experience in the spatial task boosted performance in the conceptual task, but not vice versa. While confidence judgments indicated that participants were sensitive to the uncertainty of their knowledge in both tasks, they did not or could not leverage their estimates of uncertainty to guide exploration in the conceptual task. These results support the notion that value-guided learning and generalization recruit cognitive-map dependent computational mechanisms in spatial and conceptual domains. Yet both behavioral and model-based analyses suggest domain specific differences in how these representations map onto actions. Author summary There is a resurgence of interest in “cognitive maps” based on recent evidence that the hippocampal-entorhinal system encodes both spatial and non-spatial relational information, with far-reaching implications for human behavior. Yet little is known about the commonalities and differences in the computational principles underlying human learning and decision making in spatial and non-spatial domains. We use a within-subject design to examine how humans search for either spatially or conceptually correlated rewards. Using a Bayesian learning model, we find evidence for the same computational mechanisms of generalization across domains. While participants were sensitive to expected rewards and uncertainty in both tasks, how they leveraged this knowledge to guide exploration was different: participants displayed less uncertainty-directed and more random exploration in the conceptual domain. Moreover, experience with the spatial task improved conceptual performance, but not vice versa. These results provide important insights about the degree of overlap between spatial and conceptual cognition.

ABSTRACT The brain forms cognitive maps of relational knowledge, an organizing principle thought to underlie our ability to generalize and make inferences. However, how can a relevant map be selected in situations where a stimulus is embedded in multiple relational structures? Here, we find that both spatial and temporal cognitive maps influence generalization in a choice task, where spatial location determines reward magnitude. Mirroring behavior, the hippocampus not only builds a map of spatial relationships but also encodes temporal distances. As the task progresses, participants’ choices become more influenced by spatial relationships, reflected in a strengthening of the spatial and a weakening of the temporal map. This change is driven by orbitofrontal cortex, which represents the evidence that an observed outcome is generated from the spatial rather than the temporal map and updates hippocampal representations accordingly. Taken together, this demonstrates how hippocampal cognitive maps are used and updated flexibly for inference.

Abstract Identifying goal-relevant features in novel environments is a central challenge for efficient behaviour. We asked whether humans address this challenge by relying on prior knowledge about common properties of reward-predicting features. One such property is the rate of change of features, given that behaviourally relevant processes tend to change on a slower timescale than noise. Hence, we asked whether humans are biased to learn more when task-relevant features are slow rather than fast. To test this idea, 100 human participants were asked to learn the rewards of two-dimensional bandits when either a slowly or quickly changing feature of the bandit predicted reward. Participants accrued more reward and achieved better generalisation to unseen feature values when a bandit’s relevant feature changed slowly, and its irrelevant feature quickly, as compared to the opposite. Participants were also more likely to incorrectly base their choices on the irrelevant feature when it changed slowly versus quickly. These effects were stronger when participants experienced the feature speed before learning about rewards. Modelling this behaviour with a set of four function approximation Kalman filter models that embodied alternative hypotheses about how feature speed could affect learning revealed that participants had a higher learning rate for the slow feature, and adjusted their learning to both the relevance and the speed of feature changes. The larger the improvement in participants’ performance for slow compared to fast bandits, the more strongly they adjusted their learning rates. These results provide evidence that human reinforcement learning favours slower features, suggesting a bias in how humans approach reward learning. Author Summary Learning experiments in the laboratory are often assumed to exist in a vacuum, where participants solve a given task independently of how they learn in more natural circumstances. But humans and other animals are in fact well known to “meta learn”, i.e. to leverage generalisable assumptions about how to learn from other experiences. Taking inspiration from a well-known machine learning technique known as slow feature analysis, we investigated one specific instance of such an assumption in learning: the possibility that humans tend to focus on slowly rather than quickly changing features when learning about rewards. To test this, we developed a task where participants had to learn the value of stimuli composed of two features. Participants indeed learned better from a slowly rather than quickly changing feature that predicted reward and were more distracted by the reward-irrelevant feature when it changed slowly. Computational modelling of participant behaviour indicated that participants had a higher learning rate for slowly changing features from the outset. Hence, our results support the idea that human reinforcement learning reflects a priori assumptions about the reward structure in natural environments.