Lagrangian analysis is a powerful way to analyse the output of ocean circulation models and other ocean velocity data such as from altimetry. In the Lagrangian approach, large sets of virtual particles are integrated within the three-dimensional, time-evolving velocity fields. Over several decades, a variety of tools and methods for this purpose have emerged. Here, we review the state of the art in the field of Lagrangian analysis of ocean velocity data, starting from a fundamental kinematic framework and with a focus on large-scale open ocean applications. Beyond the use of explicit velocity fields, we consider the influence of unresolved physics and dynamics on particle trajectories. We comprehensively list and discuss the tools currently available for tracking virtual particles. We then showcase some of the innovative applications of trajectory data, and conclude with some open questions and an outlook. The overall goal of this review paper is to reconcile some of the different techniques and methods in Lagrangian ocean analysis, while recognising the rich diversity of codes that have and continue to emerge, and the challenges of the coming age of petascale computing.

Abstract. We present a high-level, differentiable, and composable abstraction for the point evaluation of the solution fields of partial differential equation models. The new functionality, embedded in the Firedrake automated finite element system, enables modellers to easily assimilate point data into their models at the point locations, rather than resorting to extrapolation to a computational mesh. We demonstrate the expressiveness and ease with which more mathematically defensible data assimilation can be performed with examples in the fields of groundwater hydrology and glaciology. In various geoscience disciplines, modellers seek to estimate fields that are challenging to directly observe using measurements of other related fields. These measurements are often sparse, and it is common practice to first extrapolate these measurements to the grid or mesh used for computations. When this estimation procedure is viewed as a deterministic inverse problem, the extrapolation step is undesirable because the choice of extrapolation method introduces an arbitrary algorithmic degree of freedom that can alter the outcomes. When the estimation procedure is instead viewed through the lens of statistical inference, the extrapolation step is undesirable for the additional reason that it obscures the number of statistically independent measurements that are assimilated and thus makes it impossible to apply statistical goodness-of-fit tests or model selection criteria. The introduction of point evaluation into Firedrake, together with its integration into the automatic differentiation features of the system, greatly facilitates the direct assimilation of point data and thus improved methodology for solving both deterministic and statistical inverse problems.

Abstract Our previously described reformulation of the Met Office's dynamical core for weather and climate prediction is extended to spherical domains using a cubed‐sphere mesh. We update the semi‐implicit mixed finite‐element formulation to be suitable for spherical domains. In particular, the finite‐volume transport scheme is extended to take account of non‐uniform, non‐orthogonal meshes and uses an advective‐then‐flux formulation so that increment from the transport scheme is linear in the divergence. The resulting model is then applied to a standard set of dry dynamical core tests and compared with the existing semi‐implicit semi‐Lagrangian dynamical core currently used in the Met Office's operational model.