Abstract We present a physics‐informed deep neural network (DNN) method for estimating hydraulic conductivity in saturated and unsaturated flows governed by Darcy's law. For saturated flow, we approximate hydraulic conductivity and head with two DNNs and use Darcy's law in addition to measurements of hydraulic conductivity and head to train these DNNs. For unsaturated flow, we approximate unsaturated conductivity function and capillary pressure with DNNs and train these DNNs using measurements of capillary pressure and the Richards equation. Because it is difficult to measure unsaturated conductivity in the field, we assume that no measurements of unsaturated conductivity are available. The proposed approach enforces the partial differential equation (PDE) (Darcy or Richards equation) constraints by minimizing the PDE residual at select points in the simulation domain. We demonstrate that physics constraints increase the accuracy of DNN approximations of sparsely observed functions and allow for training DNNs when no direct measurements of the functions of interest are available. For the saturated conductivity estimation problem, we show that the physics‐informed DNN method is more accurate than the state‐of‐the‐art maximum a posteriori probability method. For the unsaturated flow in homogeneous porous media, we find that the proposed method can accurately estimate the pressure‐conductivity relationship based on the capillary pressure measurements only, even in the presence of measurement noise.

We argue that an excess in entanglement between the visible and hidden units in a quantum neural network can hinder learning. In particular, we show that quantum neural networks that satisfy a volume law in the entanglement entropy will give rise to models that are not suitable for learning with high probability. Using arguments from quantum thermodynamics, we then show that this volume law is typical and that there exists a barren plateau in the optimization landscape due to entanglement. More precisely, we show that for any bounded objective function on the visible layers, the Lipshitz constants of the expectation value of that objective function will scale inversely with the dimension of the hidden subsystem with high probability. We show how this can cause both gradient-descent and gradient-free methods to fail. We note that similar problems can happen with quantum Boltzmann machines, although stronger assumptions on the coupling between the hidden and/or visible subspaces are necessary. We highlight how pretraining such generative models may provide a way to navigate these barren plateaus.Received 15 February 2021Revised 21 July 2021Accepted 13 October 2021DOI:https://doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.040316Published by the American Physical Society under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International license. Further distribution of this work must maintain attribution to the author(s) and the published article's title, journal citation, and DOI.Published by the American Physical SocietyPhysics Subject Headings (PhySH)Research AreasMachine learningQuantum algorithmsQuantum Information

Variational quantum computing schemes train a loss function by sending an initial state through a parametrized quantum circuit, and measuring the expectation value of some operator. Despite their promise, the trainability of these algorithms is hindered by barren plateaus (BPs) induced by the expressiveness of the circuit, the entanglement of the input data, the locality of the observable, or the presence of noise. Up to this point, these sources of BPs have been regarded as independent. In this work, we present a general Lie algebraic theory that provides an exact expression for the variance of the loss function of sufficiently deep parametrized quantum circuits, even in the presence of certain noise models. Our results allow us to understand under one framework all aforementioned sources of BPs. This theoretical leap resolves a standing conjecture about a connection between loss concentration and the dimension of the Lie algebra of the circuit's generators. The barren plateau problem represents one of the major bottlenecks for parametrized quantum circuits algorithms. Here, the authors study the known sources of BP using the lens of Lie algebraic theory, finding an expression of the variance of the loss function depending on the dynamical Lie algebra of the circuit.