The flow field characteristics of the conduit-matrix system (CMS) have consistently been a primary area of interest to researchers. However, under the long-term influence of water flow, the hydraulic conductivity of the matrix surrounding the conduit often deforms differentially along the conduit axis, resulting in the development of a conduit-multilayer matrix system (CMMS). This renders conventional models inadequate in accurately describing the flow field characteristics of CMMS. In this study, a semi-analytical model with second-order accuracy is developed to investigate the velocity profile characteristics of CMMS by coupling the Navier-Stokes (N-S) equations in the conduit and the Darcy-Brinkman (D-B) equation in the multilayer matrices. In this model, the interface between the conduit and the matrix satisfies the velocity continuity and stress jumping condition. In contrast, different matrix interfaces require both velocity and stress to be equal. The model's validity is verified through Lattice Boltzmann Method (LBM) simulation, COMSOL simulation, and experimental data under different conduit apertures, matrix region numbers, and matrix permeability characteristics. Moreover, the current model predicts discharges with higher accuracy than the Hagen-Poiseuille law and Darcy's law (the maximum error between the present model and the test is 7.24%). Furthermore, the existing Poiseuille's law, conduit-matrix model, and conduit-matrix1-matrix2 model are all special cases of the current semi-analytical model, thereby indicating its broader applicability. Sensitivity results reveal that the flow velocities in the surrounding matrix and the conduit regions also increase when the permeability of the matrix in proximity to the conduit increases. Additionally, as the stress jumping coefficient at the interface approaches zero, the transition from free flow to seepage becomes smoother.

Abstract Previous studies pointed out that the hydraulic aperture ( b h ) is solely dependent on the geometric features of a fracture, independent of fluid inertia effects. Here we present an inertial hydraulic aperture ( b ih ) that considers the fluid inertial effect and fracture geometry effect by massive direct numerical simulations of fluid flow in real and artificial 3‐D fractures. Simulation results indicate that with an increase in Reynolds number ( Re ), the evolution eddy volume ratio exhibits three distinct stages: stable stage ( Re < 1), fluctuating stage (1 ≤ Re ≤ 10), and increasing to stable stage ( Re > 10). These stages correspond to the transition of flow regimes from the viscous Darcy regime to the weak inertia regime, and further developing into the strong inertia regime. Among them, Re = 1 can be considered as the critical point for the onset of the non‐Darcy flow. Furthermore, As Re increases, the evolution of b ih exhibits four stages influenced by fluid inertia effects and main flow width in the fracture: stability, slight increase, slight decrease, and rapid increase. Then, based on 892 sets of simulation results ( Re ≥ 1), the expression of b ih was obtained using Gene Expression Programming. Compared to the four existing empirical models of b h , the present b ih exhibits the highest accuracy and the lowest errors ( R 2 = 0.994, MAE = 0.008, RMSE = 0.013). Finally, the proposed b ih is further employed to modify the Forchheimer equation. This study enhances the understanding of hydraulic conductivity in 3‐D rough single fractures.