The concept of limiting step gives the limit simplification: the wholenetwork behaves as a single step. However, in its simplest form this idea isapplicable only to the simplest linear cycles in steady states. For such thesimplest cycles the nonstationary behaviour is also limited by a single step,but not the same step that limits the stationary rate. We develop a generaltheory of static and dynamic limitation for all linear multiscale networks. Newestimates of eigenvectors for diagonally dominant matrices are used. Multiscale ensembles of reaction networks with well separated constants areintroduced and typical properties of such systems are studied. For any givenordering of reaction rate constants the explicit approximation of steady state,relaxation spectrum and related eigenvectors ("modes") is presented. Theobtained multiscale approximations that we call "dominant systems" arecomputationally cheap and robust. These dominant systems can be used for directcomputation of steady states and relaxation dynamics, especially when kineticinformation is incomplete, for design of experiments and mining of experimentaldata, and could serve as a robust first approximation in perturbation theory orfor preconditioning.

Let M be a compact oriented PL manifold and let C_*M be its PL chain complex.The domain of the chain-level intersection pairing is a subcomplex G ofC_*M\otimes C_*M. We prove that G is a "full" subcomplex, that is, theinclusion of G in C_*M \otimes C_*M is a quasi-isomorphism. An analogous resultis true for the domain of the iterated intersection pairing. Using this, weshow that the intersection pairing gives C_*M a structure of partially definedcommutative DGA, which in particular implies that C_*M is canonicallyquasi-isomorphic to an E_\infty chain algebra. An erratum is attached which corrects sign errors pointed out by GregFriedman.

In the early 1980's Mike Freedman showed that all knots with trivialAlexander polynomial are topologically slice (with fundamental group Z). Thispaper contains the first new examples of topologically slice knots. In fact, wegive a sufficient homological condition under which a knot is slice withfundamental group Z semi-direct product Z[1/2]. These two fundamental groupsare known to be the only solvable ribbon groups. Our homological conditionimplies that the Alexander polynomial equals (t-2)(t^{-1}-2) but also containsinformation about the metabelian cover of the knot complement (since there aremany non-slice knots with this Alexander polynomial). Erratum (attached): In Figure 1.5 we gave an incorrect example for Theorem1.3. We present a correct example.

Gromov's famous non-squeezing theorem (1985) states that the standardsymplectic ball cannot be symplectically squeezed into any cylinder of smallerradius. Does there exist an analogue of this result in contact geometry? Ourmain finding is that the answer depends on the sizes of the domains inquestion: We establish contact non-squeezing on large scales, and show that itdisappears on small scales. The algebraic counterpart of the (non)-squeezingproblem for contact domains is the question of existence of a natural partialorder on the universal cover of the contactomorphisms group of a contactmanifold. In contrast to our earlier beliefs, we show that the answer to thisquestion is very sensitive to the topology of the manifold. For instance, weprove that the standard contact sphere is non-orderable while the realprojective space is known to be orderable. Our methods include a new embeddingtechnique in contact geometry as well as a generalized Floer homology theorywhich contains both cylindrical contact homology and Hamiltonian Floerhomology. We discuss links to a number of miscellaneous topics such as topologyof free loops spaces, quantum mechanics and semigroups. An erratum is attached whose purpose is to is to correct a number ofinconsistencies in the main paper. These are related to the grading ofgeneralized Floer homology and do not affect formulations and proofs of themain results of the paper.

We discuss the consistency conditions of a novel orientifold projection oftype IIB string theory on C^2/Z_N singularities, in which one mods out by thecombined action of world-sheet parity and a geometric operation which exchangesthe two complex planes. The field theory on the world-volume of D5-brane probesdefines a family of six-dimensional RG fixed points, which had been previouslyconstructed using type IIA configurations of NS-branes and D6-branes in thepresence of O6-planes. Both constructions are related by a T-dualitytransforming the set of NS-branes into the C^2/Z_N singularity. We alsoconstruct additional models, where both the standard and the novel orientifoldprojections are imposed. They have an interesting relation with orientifolds ofD_K singularities, and provide the T-duals of certain type IIA configurationscontaining both O6- and O8-planes.

We perform a systematic analysis of flow-like solutions in theories ofEinstein gravity coupled to multiple scalar fields, which arise as holographicRG flows as well as in the context of cosmological solutions driven by scalars.We use the first order formalism and the superpotential formulation to classifysolutions close to generic extrema of the scalar potential, and close to"bounces," where the flow is inverted in some or all directions and thesuperpotential becomes multi-valued. Although the superpotential formulationcontains a large redundancy, we show how this can be completely lift bysuitable regularity conditions. We place the first order formalism in thecontext of Hamilton-Jacobi theory, where we discuss the possibility ofnon-gradient flows and their connection to non-separable solutions of theHamilton-Jacobi equation. We argue that non-gradient flows may be useful in thepresence of global symmetries in the scalar sector.