Adaptive beamforming methods are known to degrade if some of underlying assumptions on the environment, sources, or sensor array become violated. In particular, if the desired signal is present in training snapshots, the adaptive array performance may be quite sensitive even to slight mismatches between the presumed and actual signal steering vectors (spatial signatures). Such mismatches can occur as a result of environmental nonstationarities, look direction errors, imperfect array calibration, distorted antenna shape, as well as distortions caused by medium inhomogeneities, near-far mismatch, source spreading, and local scattering. The similar type of performance degradation can occur when the signal steering vector is known exactly but the training sample size is small. In this paper, we develop a new approach to robust adaptive beamforming in the presence of an arbitrary unknown signal steering vector mismatch. Our approach is based on the optimization of worst-case performance. It turns out that the natural formulation of this adaptive beamforming problem involves minimization of a quadratic function subject to infinitely many nonconvex quadratic constraints. We show that this (originally intractable) problem can be reformulated in a convex form as the so-called second-order cone (SOC) program and solved efficiently (in polynomial time) using the well-established interior point method. It is also shown that the proposed technique can be interpreted in terms of diagonal loading where the optimal value of the diagonal loading factor is computed based on the known level of uncertainty of the signal steering vector. Computer simulations with several frequently encountered types of signal steering vector mismatches show better performance of our robust beamformer as compared with existing adaptive beamforming algorithms.

This paper considers the problem of downlink transmit beamforming for wireless transmission and downstream precoding for digital subscriber wireline transmission, in the context of common information broadcasting or multicasting applications wherein channel state information (CSI) is available at the transmitter. Unlike the usual "blind" isotropic broadcasting scenario, the availability of CSI allows transmit optimization. A minimum transmission power criterion is adopted, subject to prescribed minimum received signal-to-noise ratios (SNRs) at each of the intended receivers. A related max-min SNR "fair" problem formulation is also considered subject to a transmitted power constraint. It is proven that both problems are NP-hard; however, suitable reformulation allows the successful application of semidefinite relaxation (SDR) techniques. SDR yields an approximate solution plus a bound on the optimum value of the associated cost/reward. SDR is motivated from a Lagrangian duality perspective, and its performance is assessed via pertinent simulations for the case of Rayleigh fading wireless channels. We find that SDR typically yields solutions that are within 3-4 dB of the optimum, which is often good enough in practice. In several scenarios, SDR generates exact solutions that meet the associated bound on the optimum value. This is illustrated using measured very-high-bit-rate Digital Subscriber line (VDSL) channel data, and far-field beamforming for a uniform linear transmit antenna array.

The coordinate descent method enjoys a long history in convex differentiable minimization. Surprisingly, very little is known about the convergence of the iterates generated by this method. Convergence typically requires restrictive assumptions such as that the cost function has bounded level sets and is in some sense strictly convex. In a recent work, Luo and Tseng showed that the iterates are convergent for the symmetric monotone linear complementarity problem, for which the cost function is convex quadratic, but not necessarily strictly convex, and does not necessarily have bounded level sets. In this paper, we extend these results to problems for which the cost function is the composition of an affine mapping with a strictly convex function which is twice differentiable in its effective domain. In addition, we show that the convergence is at least linear. As a consequence of this result, we obtain, for the first time, that the dual iterates generated by a number of existing methods for matrix balancing and entropy optimization are linearly convergent.