The Kawahara equation exhibits signal dispersion across lines of transmission and the production of unstable waves from the water in the broad wavelength area. This article explores the computational analysis for the approximate series of time fractional Kawahara (TFK) and modified Kawahara (TFMK) problems. We utilize the Shehu homotopy transform method (SHTM), which combines the Shehu transform (ST) with the homotopy perturbation method (HPM). He’s polynomials using HPM effectively handle the nonlinear terms. The derivatives of fractional order are examined in the Caputo sense. The suggested methodology remains unaffected by any assumptions, restrictions, or hypotheses on variables that could potentially pervert the fractional problem. We present numerical findings via visual representations to indicate the usability and performance of fractional order derivatives for depicting water waves in long-wavelength regions. The significance of our proposed scheme is demonstrated by the consistency of analytical results that align with the exact solutions. These derived results demonstrate that SHTM is an effective and powerful scheme for examining the results in the representation of series for time-fractional problems.

Abstract This study discusses a new version of the $$(2+1)$$ ( 2 + 1 ) -dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation. This equation is used to model the behavior of nonlinear waves in various fields like ferromagnetic media, ion-acoustic waves in plasma physics, and fluid dynamics. It is instrumental in modeling surface and internal waves in straits or channels. The main goal of the research is to determine the exact solutions for this equation and analyze their physical characteristics. We obtain exact solutions using two improved techniques, namely the modified extended tanh-function and the modified generalized Kudryashov methods. These techniques investigate various exact solutions, such as exponential, rational, hyperbolic, and trigonometric. Besides, the sensitivity and the stability analysis of the model are presented. Additionally, three- and two-dimensional contour plots are created to present the physical behavior of the exact solutions.

This paper presents a significant scheme to drive the numerical solution of multi-dimensional diffusion problems where the fractional derivatives are taken in Caputo sense. The Mohand homotopy integral transform scheme (MHITS) is the composition of Mohand integral transform (MIT) and the homotopy perturbation scheme (HPS) which can be used to investigate the numerical solution in the form of convergence series. This approach does not require any presumptions, limitations on elements, or any other hypothesis. The primary objective of this strategy is to perform its direct implementation to the recurrence relation. This method produces results in the form of a convergent series, which accurately predicts the exact results. Graphical results and plot error distribution show an excellent agreement between MHITS results and the exact solution.

This paper introduces a refined approach for obtaining the analytical solution of the nonlinear shock wave model incorporating fractal derivatives. The Fractal Yang Variational Iteration Strategy (FYVIS) is utilized to obtain the approximate solution of a fractal model in the form of a series under Caputo fractional operator. The suggested method is the composition of the fractal Yang transform and the variational iteration approach. By using the two-scale fractal theory, we transform the fractal model into its traditional problem and then apply the yang transform to generate a recurrence relation. The variational iteration approach is now suitable to handle this recurrence relation without imposing any hypotheses or restrictions on variables. The derived results by the proposed scheme are shown in terms of series solution. Numerical calculations verify the accuracy and consistency of the suggested approach, demonstrating its excellent performance. The dynamic behavior of fractal components is explored by evaluating absolute errors and presenting two-dimensional diagrams across the fractal domain. This investigation underscores that the suggested technique offers an efficient and user-friendly solution for solving the nonlinear shock wave model involving fractal derivatives.

This work presents the analytical study of one dimensional time-fractional nonlinear Schrödinger equation arising in quantum mechanics. In present research, we establish an idea of the Sumudu transform residual power series method (ST-RPSM) to generate the numerical solution of nonlinear Schrödinger models with the fractional derivatives. The proposed idea is the composition of Sumudu transform (ST) and the residual power series method (RPSM). The fractional derivatives are taken in Caputo sense. The proposed technique is unique since it requires no assumptions or variable constraints. The ST-RPSM obtains its results through a series of successive iterations, and the resulting form rapidly converges to the exact solution. The results obtained via ST-RPSM show that this scheme is authentic, effective, and simple for nonlinear fractional models. Some graphical structures are displayed at different levels of fractional orders using Mathematica Software.

Abstract In this work, q-Residual power series method (q-RPSM) is extended for the first time to solve q-generalized quintic complex Ginzburg-Landau (q-GCGL) equations. In 2019, O. A. Arqub [39], has investigated the solutions of time fractional Schrödinger equations without q-derivative by using RPSM. However, in this article, the RPSM procedure is extended to non-linear q-fractional partial differential
equations and thus some useful results are obtained under the definition of q-derivative, q-gamma func tion, q-Caputo derivative and q-factorial function. The solutions to few numerical examples under the q-Caputo operator are presented. In the current procedure, the targeted q-problems are first converted into system of two non-linear q-fractional partial differential equations and then solved by using q-RPSM. In particular, we considered two illustrative examples of fractional q-GCGL for analytical solutions using q-RPSM. The numerical simulations for the suggested numerical problems are done successfully. Various graphs such as Figures 1-12 are provided to compare the q-RPSM results with the exact solutions of the proposed problems. In this connection, Figures 1 and 4 show the 3D plot comparison between q-RPSM and exact solution of the 1st numerical example for œ and q=1. Figures 2 and 5 illustrate the q-graph
for various values of q and τ . In Figures 3 and 6, we discussed the fractional-solution graphs for different values of œ = 1, 0.7 and 0.5 at fix values of q=0.5, τ = 1 and 0.5. It is also investigated that higher terms series solution have the higher degree of accuracy. In the current q-RPSM simulations, the higher accuracy is achieved by taking sixth terms series solution. The fractional-order solutions are convergent toward integer-order solution as the fractional-order approaches to integer-order. The solutions curve at different q-values is also calculated and obtain the useful dynamics of the targeted problems. The q-analogy can be used effectively in the field of quantum physics and thus keep the higher norm for researchers working in the field.