Dessin d'Enfants on elliptic curves are a powerful way of encodingdoubly-periodic brane tilings, and thus, of four-dimensional supersymmetricgauge theories whose vacuum moduli space is toric, providing an interestinginterplay between physics, geometry, combinatorics and number theory. Wediscuss and provide a partial classification of the situation in genera otherthan one by computing explicit Belyi pairs associated to the gauge theories.Important also is the role of the Igusa and Shioda invariants that generalisethe elliptic $j$-invariant.

We reformulate Einstein's theory of gravity, isolating the conformal degreeof freedom in a covariant way. This is done by introducing a physical metricdefined in terms of an auxiliary metric and a scalar field appearing throughits first derivatives. The resulting equations of motion split into a tracelessequation obtained through variation with respect to the auxiliary metric and anadditional differential equation for the trace part. As a result the conformaldegree of freedom becomes dynamical even in the absence of matter. We show thatthis extra degree of freedom can mimic cold dark matter.

We take advantage of the Sturm-Liouville eigenvalue problem to analyticallystudy the holographic insulator/superconductor phase transition in the probelimit. The interesting point is that this analytical method can not onlyestimate the most stable mode of the phase transition, but also the secondstable mode. We find that this analytical method perfectly matches with othernumerical methods, such as the shooting method. Besides, we argue that onlyDirichlet boundary condition of the trial function is enough under certaincircumstances, which will lead to a more precise estimation. This relaxationfor the boundary condition of the trial function is first observed in thispaper as far as we know.

We associate vertex operators to space-time diffeomorphisms in flat spacestring theory, and compute their algebra, which is a diffeomorphism algebrawith higher derivative corrections. As an application, we realize theasymptotic symmetry group BMS3 of three-dimensional flat space in terms ofvertex operators on the string worldsheet. This provides an embedding of theBMS3 algebra in a consistent theory of quantum gravity. Higher derivativecorrections vanish asymptotically. An appendix is dedicated to alpha primecorrected algebras in conformal field theory and string theory.

We classify possible supersymmetry-preserving relevant, marginal, andirrelevant deformations of unitary superconformal theories in $d \geq 3$dimensions. Our method only relies on symmetries and unitarity. Hence, theresults are model independent and do not require a Lagrangian description. Twounifying themes emerge: first, many theories admit deformations that reside inmultiplets together with conserved currents. Such deformations can lead tomodifications of the supersymmetry algebra by central and non-central charges.Second, many theories with a sufficient amount of supersymmetry do not admitrelevant or marginal deformations, and some admit neither. The classificationis complicated by the fact that short superconformal multiplets display a richvariety of sporadic phenomena, including supersymmetric deformations thatreside in the middle of a multiplet. We illustrate our results with examples indiverse dimensions. In particular, we explain how the classification ofirrelevant supersymmetric deformations can be used to derive known and newconstraints on moduli-space effective actions.

Current searches for the light top squark (stop) mostly focus on the decaychannels of $\tilde{t} \rightarrow t \chi_1^0$ or $\tilde{t} \rightarrow b\chi_1^\pm \rightarrow bW \chi_1^0$, leading to $t\bar{t}/bbWW+\met$ finalstates for stop pair productions at the LHC. However, in supersymmetricscenarios with light neutralinos and charginos other than the neutralinolightest supersymmetric particle (LSP), more than one decay mode of the stopcould be dominant. While those new decay modes could significantly weaken thecurrent stop search limits at the LHC, they also offer alternative discoverychannels for stop searches. In this paper, we studied the scenario with lightHiggsino next-to-LSPs (NLSPs) and Bino LSP. The light stop decays primarily via$\tilde t_1 \to t \chi_2^0/\chi_3^0$, with the neutralinos subsequent decayingto a $Z$ boson or a Higgs boson: $\chi_2^0/\chi^0_3 \to \chi_1^0 h/Z$. Pairproduction of light stops at the LHC leads to final states of $t \bar thh\met$, $t \bar t hZ\met$ or $t \bar t ZZ\met$. We consider three signalregions: one charged lepton (1$\ell$), two opposite sign charged leptons (2 OS$\ell$) and at least three charged leptons ($ \ge 3 \ell$). We found that the1$\ell$ signal region of channel $t \bar t hZ\met$ has the best reachsensitivity for light stop searches. For 14 TeV LHC with 300 ${\rm fb}^{-1}$integrated luminosity, a stop mass up to 900 GeV can be discovered at 5$\sigma$significance, or up to 1050 GeV can be excluded at 95\% C.L. Combining allthree decay channels for $1 \ell$ signal region extends the reach for about100$-$150 GeV. We also studied the stop reach at the 100 TeV $pp$ collider with3 ${\rm ab}^{-1}$ luminosity, with discovery and exclusion reach being 6 TeVand 7 TeV, respectively.