Dessin d'Enfants on elliptic curves are a powerful way of encodingdoubly-periodic brane tilings, and thus, of four-dimensional supersymmetricgauge theories whose vacuum moduli space is toric, providing an interestinginterplay between physics, geometry, combinatorics and number theory. Wediscuss and provide a partial classification of the situation in genera otherthan one by computing explicit Belyi pairs associated to the gauge theories.Important also is the role of the Igusa and Shioda invariants that generalisethe elliptic $j$-invariant.

We reformulate Einstein's theory of gravity, isolating the conformal degreeof freedom in a covariant way. This is done by introducing a physical metricdefined in terms of an auxiliary metric and a scalar field appearing throughits first derivatives. The resulting equations of motion split into a tracelessequation obtained through variation with respect to the auxiliary metric and anadditional differential equation for the trace part. As a result the conformaldegree of freedom becomes dynamical even in the absence of matter. We show thatthis extra degree of freedom can mimic cold dark matter.

It is shown that Einstein-Weyl (EW) equations in 2+1 dimensions contain thedispersionless Kadomtsev-Petviashvili (dKP) equation as a special case: If anEW structure admits a constant weighted vector then it is locally given by $h=dy^2-4d xd t-4ud t^2, \nu=-4u_xd t$, where $u=u(x, y, t)$ satisfies the dKPequation $(u_t-uu_x)_x=u_{yy}$. Linearised solutions to the dKP equation are shown to give rise tofour-dimensional anti-self-dual conformal structures with symmetries. Allfour-dimensional hyper-K\"ahler metrics in signature $(++--)$ for which theself-dual part of the derivative of a Killing vector is null arise by thisconstruction. Two new classes of examples of EW metrics which depend on onearbitrary function of one variable are given, and characterised. A Lax representation of the EW condition is found and used to show that allEW spaces arise as symmetry reductions of hyper-Hermitian metrics in fourdimensions. The EW equations are reformulated in terms of a simple and closedtwo-form on the $\CP^1$-bundle over a Weyl space. It is proved that complex solutions to the dKP equations, modulo a certaincoordinate freedom, are in a one-to-one correspondence with minitwistor spaces(two-dimensional complex manifolds ${\cal Z}$ containing a rational curve withnormal bundle $\O(2)$) that admit a section of $\kappa^{-1/4}$, where $\kappa$is the canonical bundle of ${\cal Z}$. Real solutions are obtained if theminitwistor space also admits an anti-holomorphic involution with fixed pointstogether with a rational curve and section of $\kappa^{-1/4}$ that areinvariant under the involution.

We take advantage of the Sturm-Liouville eigenvalue problem to analyticallystudy the holographic insulator/superconductor phase transition in the probelimit. The interesting point is that this analytical method can not onlyestimate the most stable mode of the phase transition, but also the secondstable mode. We find that this analytical method perfectly matches with othernumerical methods, such as the shooting method. Besides, we argue that onlyDirichlet boundary condition of the trial function is enough under certaincircumstances, which will lead to a more precise estimation. This relaxationfor the boundary condition of the trial function is first observed in thispaper as far as we know.

We associate vertex operators to space-time diffeomorphisms in flat spacestring theory, and compute their algebra, which is a diffeomorphism algebrawith higher derivative corrections. As an application, we realize theasymptotic symmetry group BMS3 of three-dimensional flat space in terms ofvertex operators on the string worldsheet. This provides an embedding of theBMS3 algebra in a consistent theory of quantum gravity. Higher derivativecorrections vanish asymptotically. An appendix is dedicated to alpha primecorrected algebras in conformal field theory and string theory.