Using the collective field theory approach of large-N generalizedtwo-dimensional Yang-Mills theory on cylinder, it is shown that the classicalequation of motion of collective field is a generalized Hopf equation. Then,using the Itzykson-Zuber integral at the large-N limit, it is found that theclassical Young tableau density, which satisfies the saddle-point equation anddetermines the large-N limit of free energy, is the inverse of the solution ofthis generalized Hopf equation, at a certain point.

Let A be an arbitrary ring. We introduce a Dennis trace map mod n, fromK_1(A;Z/n) to the Hochschild homology group with coefficients HH_1(A;Z/n). If Ais the ring of integers in a number field, explicit elements of K_1(A,Z/n) areconstructed and the values of their Dennis trace mod n are computed. If F is aquadratic field, we obtain this way non trivial elements of the ideal classgroup of A. If F is a cyclotomic field, this trace is closely related to Kummerlogarithmic derivatives; this trace leads to an unexpected relationship betweenthe first case of Fermat last theorem, K-theory and the number of roots ofMirimanoff polynomials.