We calculate the vibrational density-of-states in an insulating nanoparticlethat is in weak mechanical contact with a semi-infinite substrate. The work ismotivated by a recent experiment by Yang et al., where the low-energy phonondensity-of-states of Y2O3 nanoparticles doped with Eu was measured. Preliminaryresults presented here, based on the conventional quasiparticle-poleapproximation for the phonon propagator, are in reasonable agreement withexperiment.

We solve exactly the 6-vertex model on a dynamical random lattice, using itsrepresentation as a large N matrix model. The model describes a gas of densenonintersecting oriented loops coupled to the local curvature defects on thelattice. The model can be mapped to the c=1 string theory, compactified at somelength depending on the vertex coupling. We give explicit expression for thedisk amplitude and evaluate the fractal dimension of its boundary, the averagenumber of loops and the dimensions of the vortex operators, which varycontinuously with the vertex coupling.

We prove that the wreath product orbifolds studied earlier by the firstauthor provide a large class of higher dimensional examples of orbifolds whoseorbifold Hodge numbers coincide with the ordinary ones of suitable resolutionsof singularities. We also make explicit conjectures on elliptic genera for thewreath product orbifolds.