The theory of quantum computation can be constructed from the abstract study of anyonic systems. In mathematical terms, these are unitary topological modular functors. They underlie the Jones polynomial and arise in Witten-Chern-Simons theory. The braiding and fusion of anyonic excitations in quantum Hall electron liquids and 2D-magnets are modeled by modular functors, opening a new possibility for the realization of quantum computers. The chief advantage of anyonic computation would be physical error correction: An error rate scaling like e−αℓe^{-\alpha \ell } , where ℓ\ell is a length scale, and α\alpha is some positive constant. In contrast, the “presumptive" qubit-model of quantum computation, which repairs errors combinatorically, requires a fantastically low initial error rate (about 10−410^{-4} ) before computation can be stabilized.

Topological phases are unique states of matter incorporating long-range quantum entanglement, hosting exotic excitations with fractional quantum statistics. We report a practical method to identify topological phases in arbitrary realistic models by accurately calculating the Topological Entanglement Entropy (TEE) using the Density Matrix Renormalization Group (DMRG). We argue that the DMRG algorithm naturally produces a minimally entangled state, from amongst the quasi-degenerate ground states in a topological phase. This proposal both explains the success of this method, and the absence of ground state degeneracy found in prior DMRG sightings of topological phases. We demonstrate the effectiveness of the calculational procedure by obtaining the TEE for several microscopic models, with an accuracy of order $10^{-3}$ when the circumference of the cylinder is around ten times the correlation length. As an example, we definitively show the ground state of the quantum $S=1/2$ antiferromagnet on the kagom\'e lattice is a topological spin liquid, and strongly constrain the full identification of this phase of matter.

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional topological phases of matter. We present a definition of the \it topological symmetry \rm group, which characterizes the symmetry of the emergent topological quantum numbers of a topological phase, and we describe its relation with the microscopic symmetry of the underlying physical system. We derive a general framework to characterize and classify symmetry fractionalization in topological phases, including phases that are non-Abelian and symmetries that permute the quasiparticle types and/or are anti-unitary. We develop a theory of extrinsic defects (fluxes) associated with elements of the symmetry group, which provides a general classification of symmetry-enriched topological phases derived from a topological phase of matter $\mathcal{C}$ with symmetry group $G$. The algebraic theory of the defects, known as a $G$-crossed braided tensor category $\mathcal{C}_{G}^{\times}$, allows one to compute many properties, such as the number of topologically distinct types of defects associated with each group element, their fusion rules, quantum dimensions, zero modes, braiding exchange transformations, a generalized Verlinde formula for the defects, and modular transformations of the $G$-crossed extensions of topological phases. We also examine the promotion of the global symmetry to a local gauge invariance, wherein the extrinsic $G$-defects are turned into deconfined quasiparticle excitations, which results in a different topological phase $(\mathcal{C}_{G}^{\times})^{G}$. A number of instructive and/or physically relevant examples are studied in detail.

We discuss generalizations of quantum spin Hamiltonians using anyonic degrees of freedom. The simplest model for interacting anyons energetically favors neighboring anyons to fuse into the trivial ("identity") channel, similar to the quantum Heisenberg model favoring neighboring spins to form spin singlets. Numerical simulations of a chain of Fibonacci anyons show that the model is critical with a dynamical critical exponent z=1, and described by a two-dimensional (2D) conformal field theory with central charge c=7/10. An exact mapping of the anyonic chain onto the 2D tricritical Ising model is given using the restricted-solid-on-solid representation of the Temperley-Lieb algebra. The gaplessness of the chain is shown to have topological origin.

We classify all unitary modular tensor categories (UMTCs) of rank ≤ 4. There are a total of 35 UMTCs of rank ≤ 4 up to ribbon tensor equivalence. Since the distinction between the modular S-matrix S and −S has both topological and physical significance, so in our convention there are a total of 70 UMTCs of rank ≤ 4. In particular, there are two trivial UMTCs with S = (±1). Each such UMTC can be obtained from 10 non-trivial prime UMTCs by direct product, and some symmetry operations. Explicit data of the 10 non-trivial prime UMTCs are given in Sect. 5. Relevance of UMTCs to topological quantum computation and various conjectures are given in Sect. 6.

The efficient fusion of global and local multi-scale features is quite important for remote sensing scene classification (RSSC). The scenes in high-resolution remote sensing images (HRRSI) contain many complex backgrounds, intra-class diversity, and inter-class similarities. Many studies have shown that global features and local features are helpful for RSSC. The receptive field of a traditional convolution kernel is small and fixed, and it is difficult to capture global features in the scene. The self-attention mechanism proposed in transformer effectively alleviates the above shortcomings. However, such models lack local inductive bias, and the calculation is complicated due to the large number of parameters. To address these problems, in this study, we propose a classification model of global-local features and attention based on Lie Group space. The model is mainly composed of three independent branches, which can effectively extract multi-scale features of the scene and fuse the above features through a fusion module. Channel attention and spatial attention are designed in the fusion module, which can effectively enhance the crucial features in the crucial regions, to improve the accuracy of scene classification. The advantage of our model is that it extracts richer features, and the global-local features of the scene can be effectively extracted at different scales. Our proposed model has been verified on publicly available and challenging datasets, taking the AID as an example, the classification accuracy reached 97.31%, and the number of parameters is 12.216M. Compared with other state-of-the-art models, it has certain advantages in terms of classification accuracy and number of parameters.