The fluctuations of two-dimensional extended objects membranes is a rich andexciting field with many solid results and a wide range of open issues. Wereview the distinct universality classes of membranes, determined by the localorder, and the associated phase diagrams. After a discussion of severalphysical examples of membranes we turn to the physics of crystalline (orpolymerized) membranes in which the individual monomers are rigidly bound. Wediscuss the phase diagram with particular attention to the dependence on thedegree of self-avoidance and anisotropy. In each case we review and discussanalytic, numerical and experimental predictions of critical exponents andother key observables. Particular emphasis is given to the results obtainedfrom the renormalization group epsilon-expansion. The resulting renormalizationgroup flows and fixed points are illustrated graphically. The full technicaldetails necessary to perform actual calculations are presented in theAppendices. We then turn to a discussion of the role of topological defectswhose liberation leads to the hexatic and fluid universality classes. We finishwith conclusions and a discussion of promising open directions for the future.