The basic random variables on which random uncertainties can in a given model depend can be viewed as defining a measure space with respect to which the solution to the mathematical problem can be defined. This measure space is defined on a product measure associated with the collection of basic random variables. This paper clarifies the mathematical structure of this space and its relationship to the underlying spaces associated with each of the random variables. Cases of both dependent and independent basic random variables are addressed. Bases on the product space are developed that can be viewed as generalizations of the standard polynomial chaos approximation. Moreover, two numerical constructions of approximations in this space are presented along with the associated convergence analysis.

A new method for the solution of problems involving material variability is proposed. The material property is modeled as a stochastic process. The method makes use of the Karhunen‐Loeve expansion to represent the random material property. The expansion is a representation of the process in terms of a finite set of uncorrelated random variables. The resulting formulation is compatible with the finite element method. A Neumann expansion scheme is subsequently employed to obtain a convergent expansion of the response process. The response is thus obtained as a homogeneous multivariate polynomial in the uncorrelated random variables. From this representation various statistical quantities may be derived. The usefulness of the proposed method, in terms of accuracy and efficiency, is exemplified by considering a cantilever beam with random rigidity. The derived results pertaining to the second‐order statistics of the response are found in good agreement with those obtained by a Monte Carlo simulation solution of the problem.

This paper gives an overview of the use of polynomial chaos (PC) expansions to represent stochastic processes in numerical simulations. Several methods are presented for performing arithmetic on, as well as for evaluating polynomial and nonpolynomial functions of variables represented by PC expansions. These methods include {Taylor} series, a newly developed integration method, as well as a sampling-based spectral projection method for nonpolynomial function evaluations. A detailed analysis of the accuracy of the PC representations, and of the different methods for nonpolynomial function evaluations, is performed. It is found that the integration method offers a robust and accurate approach for evaluating nonpolynomial functions, even when very high-order information is present in the PC expansions.

An uncertainty quantification scheme is constructed based on generalized Polynomial Chaos (PC) representations. Two such representations are considered, based on the orthogonal projection of uncertain data and solution variables using either a Haar or a Legendre basis. Governing equations for the unknown coefficients in the resulting representations are derived using a Galerkin procedure and then integrated in order to determine the behavior of the stochastic process. The schemes are applied to a model problem involving a simplified dynamical system and to the classical problem of Rayleigh–Bénard instability. For situations involving random parameters close to a critical point, the computational implementations show that the Wiener–Haar (WHa) representation provides more robust predictions that those based on a Wiener–Legendre (WLe) decomposition. However, when the solution depends smoothly on the random data, the WLe scheme exhibits superior convergence. Suggestions regarding future extensions are finally drawn based on these experiences.

An uncertainty quantification scheme is developed for the simulation of stochastic thermofluid processes. The scheme relies on spectral representation of uncertainty using the polynomial chaos (PC) system. The solver combines a Galerkin procedure for the determination of PC coefficients with a projection method for efficiently simulating the resulting system of coupled transport equations. Implementation of the numerical scheme is illustrated through simulations of natural convection in a 2D square cavity with stochastic temperature distribution at the cold wall. The properties of the uncertainty representation scheme are analyzed, and the predictions are contrasted with results obtained using a Monte Carlo approach.

The Stochastic Finite Element Method has seen a number of incarnations over the past few years, ranging from perturbation-based methods, and Neumann-expansion based methods, to methods for evaluating bounds on the response variability, and more recent functional expansions combined with error minimization techniques. Of these, only the last class of methods provides an explicit expression to the solution of the problem, as opposed to evaluating a global norm of this solution, and can thus be viewed as a rational extension of concepts developed for the deterministic finite element method. The main obstacle in developing a substantial user-community of various stochastic finite element methods has been the lack of a general purpose formalism for addressing issues of general engineering interest. This paper presents the main ingredients for developing a general purpose version of the Spectral Stochastic Finite Element Method.

A new method for the solution of problems involving material variability is proposed. The material property is modeled as a stochastic process. The method makes use of a convergent orthogonal expansion of the process. The solution process is viewed as an element in the Hilbert space of random functions, in which a sequence of projection operators is identified as the polynomial chaos of consecutive orders. Thus, the solution process is represented by its projections onto the spaces spanned by these polynomials. The proposed method involves a mathematical formulation which is a natural extension of the deterministic finite element concept to the space of random functions. A beam problem and a plate problem are investigated using the new method. The corresponding results are found in good agreement with those obtained through a Monte-Carlo simulation solution of the problems.

High-fidelity simulations are increasingly called-upon to resolve the nucleation of instabilities such as crack initiation and propagation and fluid mixing. While multiscale modeling capabilities have progressed rapidly over recent decades, associated simulations still present a computational burden, thus often preempting a systematic statistical analysis of related problems. Given the paucity of data that relate micro-structure to macroscale behavior, and the unavoidable modeling errors at both scales, the lack of a probabilistic characterization significantly limits the value of highly-resolved numerical simulators. The goal of the present research is to develop a probabilistic model that encodes pathwise relationships between micro and macro scales. Specifically, we develop a switching diffusion model to relate damage evolution, characterized at the microscale, to system performance identified with a macroscale property. Microscale behavior is modeled as a Markov switching process with a finite state space while the macroscale counterpart is modeled as a continuous-state diffusion process. The interaction between macro and micro scales is captured by coupling these two processes. Calibrated by data, the switching diffusion model can generate, with minimal computational effort, sample paths with prescribed statistics. The proposed model contributes new capabilities and perspectives at the interface of multiscale simulation, uncertainty quantification, and stochastic modeling.