We extend our study of all-order linearly resummed hydrodynamics in a flatspace~\cite{1406.7222,1409.3095} to fluids in weakly curved spaces. Theunderlying microscopic theory is a finite temperature $\mathcal{N}=4$super-Yang-Mills theory at strong coupling. The AdS/CFT correspondence relatesblack brane solutions of the Einstein gravity in asymptotically \emph{locally}$\textrm{AdS}_5$ geometry to relativistic conformal fluids in a weakly curved4D background. To linear order in the amplitude of hydrodynamic variables andmetric perturbations, the fluid's energy-momentum tensor is computed withderivatives of both the fluid velocity and background metric resummed to allorders. We extensively discuss the meaning of all order hydrodynamics byexpressing it in terms of the memory function formalism, which is also suitablefor practical simulations. In addition to two viscosity functions discussed atlength in refs.~\cite{1406.7222,1409.3095}, we find four curvature inducedstructures coupled to the fluid via new transport coefficient functions. Inref.~\cite{0905.4069}, the latter were referred to as gravitationalsusceptibilities of the fluid. We analytically compute these coefficients inthe hydrodynamic limit, and then numerically up to large values of momenta.