We review the present status of the Standard Model calculation of the anomalous magnetic moment of the muon. This is performed in a perturbative expansion in the fine-structure constant $\alpha$ and is broken down into pure QED, electroweak, and hadronic contributions. The pure QED contribution is by far the largest and has been evaluated up to and including $\mathcal{O}(\alpha^5)$ with negligible numerical uncertainty. The electroweak contribution is suppressed by $(m_\mu/M_W)^2$ and only shows up at the level of the seventh significant digit. It has been evaluated up to two loops and is known to better than one percent. Hadronic contributions are the most difficult to calculate and are responsible for almost all of the theoretical uncertainty. The leading hadronic contribution appears at $\mathcal{O}(\alpha^2)$ and is due to hadronic vacuum polarization, whereas at $\mathcal{O}(\alpha^3)$ the hadronic light-by-light scattering contribution appears. Given the low characteristic scale of this observable, these contributions have to be calculated with nonperturbative methods, in particular, dispersion relations and the lattice approach to QCD. The largest part of this review is dedicated to a detailed account of recent efforts to improve the calculation of these two contributions with either a data-driven, dispersive approach, or a first-principle, lattice-QCD approach. The final result reads $a_\mu^\text{SM}=116\,591\,810(43)\times 10^{-11}$ and is smaller than the Brookhaven measurement by 3.7$\sigma$. The experimental uncertainty will soon be reduced by up to a factor four by the new experiment currently running at Fermilab, and also by the future J-PARC experiment. This and the prospects to further reduce the theoretical uncertainty in the near future-which are also discussed here-make this quantity one of the most promising places to look for evidence of new physics.

A bstract We calculate the next-to-next-to-leading order QCD corrections to the leptonic invariant mass ( q 2 ) spectrum of semileptonic b → c inclusive decays, taking into account the mass of the charm quark and the charged lepton in the final state. We obtain analytic results in terms of generalized polylogarithms and present numerical studies of the $$\mathcal{O}$$ O ( $${\alpha }_s^2$$ α s 2 ) corrections to the q 2 spectrum of b → $$c\ell {\bar{\nu }}_{\ell }$$ c ℓ ν ¯ ℓ decays, for ℓ = e, μ and τ , in the kinetic scheme. Our computation can be used to incorporate the recent measurements of q 2 moments by Belle and Belle II into global fits of inclusive semileptonic B -decays.

A bstract We update the Standard Model (SM) predictions for the lifetimes of the B + , B d and B s mesons within the heavy quark expansion (HQE), including the recently determined NNLO-QCD corrections to non-leptonic decays of the free b -quark. In addition, we update the HQE predictions for the lifetime ratios τ ( B + )/ τ ( B d ) and τ ( B s )/ τ ( B d ), and provide new results for the semileptonic branching fractions of the three mesons entirely within the HQE. We obtain a considerable improvement of the theoretical uncertainties, mostly due to the reduction of the renormalisation scale dependence when going from LO to NNLO, and for all the observables considered, we find good agreement, within uncertainties, between the HQE predictions and the corresponding experimental data. Our results read, respectively, Γ( B + ) = $${0.587}_{-0.035}^{+0.025}$$ 0.587 − 0.035 + 0.025 ps −1 , Γ( B d ) = $${0.636}_{-0.037}^{+0.028}$$ 0.636 − 0.037 + 0.028 ps −1 , Γ( B s ) = $${0.628}_{-0.035}^{+0.027}$$ 0.628 − 0.035 + 0.027 ps −1 , for the total decay widths, τ ( B + )/ τ ( B d ) = $${1.081}_{-0.016}^{+0.014}$$ 1.081 − 0.016 + 0.014 , τ ( B s )/ τ ( B d ) = $${1.013}_{-0.007}^{+0.007}$$ 1.013 − 0.007 + 0.007 , for the lifetime ratios, and $${\mathcal{B}}_{\text{sl}}\left(B^{+}\right)$$ B sl   B +   = $$\left({11.46}_{-0.32}^{+0.47}\right)\mathrm{\%}$$  11.46 − 0.32 + 0.47  % , $${\mathcal{B}}_{\text{sl}}\left(B_d\right)$$ B sl  B d  = $$\left({10.57}_{-0.27}^{+0.47}\right)\mathrm{\%}$$  10.57 − 0.27 + 0.47  % , $${\mathcal{B}}_{\text{sl}}\left(B_s\right)$$ B sl  B s  = $$\left({10.52}_{-0.29}^{+0.50}\right)\mathrm{\%}$$  10.52 − 0.29 + 0.50  % , for the semileptonic branching ratios. Finally, we also provide an outlook for further improvements of the HQE determinations of the B -meson decay widths and of their ratios.