Tensors or {\em multi-way arrays} are functions of three or more indices $(i,j,k,\cdots)$ -- similar to matrices (two-way arrays), which are functions of two indices $(r,c)$ for (row,column). Tensors have a rich history, stretching over almost a century, and touching upon numerous disciplines; but they have only recently become ubiquitous in signal and data analytics at the confluence of signal processing, statistics, data mining and machine learning. This overview article aims to provide a good starting point for researchers and practitioners interested in learning about and working with tensors. As such, it focuses on fundamentals and motivation (using various application examples), aiming to strike an appropriate balance of breadth {\em and depth} that will enable someone having taken first graduate courses in matrix algebra and probability to get started doing research and/or developing tensor algorithms and software. Some background in applied optimization is useful but not strictly required. The material covered includes tensor rank and rank decomposition; basic tensor factorization models and their relationships and properties (including fairly good coverage of identifiability); broad coverage of algorithms ranging from alternating optimization to stochastic gradient; statistical performance analysis; and applications ranging from source separation to collaborative filtering, mixture and topic modeling, classification, and multilinear subspace learning.

This paper considers the problem of downlink transmit beamforming for wireless transmission and downstream precoding for digital subscriber wireline transmission, in the context of common information broadcasting or multicasting applications wherein channel state information (CSI) is available at the transmitter. Unlike the usual "blind" isotropic broadcasting scenario, the availability of CSI allows transmit optimization. A minimum transmission power criterion is adopted, subject to prescribed minimum received signal-to-noise ratios (SNRs) at each of the intended receivers. A related max-min SNR "fair" problem formulation is also considered subject to a transmitted power constraint. It is proven that both problems are NP-hard; however, suitable reformulation allows the successful application of semidefinite relaxation (SDR) techniques. SDR yields an approximate solution plus a bound on the optimum value of the associated cost/reward. SDR is motivated from a Lagrangian duality perspective, and its performance is assessed via pertinent simulations for the case of Rayleigh fading wireless channels. We find that SDR typically yields solutions that are within 3-4 dB of the optimum, which is often good enough in practice. In several scenarios, SDR generates exact solutions that meet the associated bound on the optimum value. This is illustrated using measured very-high-bit-rate Digital Subscriber line (VDSL) channel data, and far-field beamforming for a uniform linear transmit antenna array.

For the past couple of decades, numerical optimization has played a central role in addressing wireless resource management problems such as power control and beamformer design. However, optimization algorithms often entail considerable complexity, which creates a serious gap between theoretical design/analysis and real-time processing. To address this challenge, we propose a new learning-based approach. The key idea is to treat the input and output of a resource allocation algorithm as an unknown non-linear mapping and use a deep neural network (DNN) to approximate it. If the non-linear mapping can be learned accurately by a DNN of moderate size, then resource allocation can be done in almost real time -- since passing the input through a DNN only requires a small number of simple operations. In this work, we address both the thereotical and practical aspects of DNN-based algorithm approximation with applications to wireless resource management. We first pin down a class of optimization algorithms that are `learnable' in theory by a fully connected DNN. Then, we focus on DNN-based approximation to a popular power allocation algorithm named WMMSE (Shi {\it et al} 2011). We show that using a DNN to approximate WMMSE can be fairly accurate -- the approximation error $\epsilon$ depends mildly [in the order of $\log(1/\epsilon)$] on the numbers of neurons and layers of the DNN. On the implementation side, we use extensive numerical simulations to demonstrate that DNNs can achieve orders of magnitude speedup in computational time compared to state-of-the-art power allocation algorithms based on optimization.

This paper considers the problem of simultaneous multiuser downlink beamforming. The idea is to employ a transmit antenna array to create multiple "beams" directed toward the individual users, and the aim is to increase throughput, measured by sum capacity. In particular, we are interested in the practically important case of more users than transmit antennas, which requires user selection. Optimal solutions to this problem can be prohibitively complex for online implementation at the base station and entail so-called Dirty Paper (DP) precoding for known interference. Suboptimal solutions capitalize on multiuser (selection) diversity to achieve a significant fraction of sum capacity at lower complexity cost. We analyze the throughput performance in Rayleigh fading of a suboptimal greedy DP-based scheme proposed by Tu and Blum. We also propose another user-selection method of the same computational complexity based on simple zero-forcing beamforming. Our results indicate that the proposed method attains a significant fraction of sum capacity and throughput of Tu and Blum's scheme and, thus, offers an attractive alternative to DP-based schemes.

This paper links multiple invariance sensor array processing (MI-SAP) to parallel factor (PARAFAC) analysis, which is a tool rooted in psychometrics and chemometrics. PARAFAC is a common name for low-rank decomposition of three- and higher way arrays. This link facilitates the derivation of powerful identifiability results for MI-SAP, shows that the uniqueness of single- and multiple-invariance ESPRIT stems from uniqueness of low-rank decomposition of three-way arrays, and allows tapping on the available expertise for fitting the PARAFAC model. The results are applicable to both data-domain and subspace MI-SAP formulations. The paper also includes a constructive uniqueness proof for a special PARAFAC model.

The problem of transmit beamforming to multiple cochannel multicast groups is considered, when the channel state is known at the transmitter and from two viewpoints: minimizing total transmission power while guaranteeing a prescribed minimum signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR) at each receiver; and a "fair" approach maximizing the overall minimum SINR under a total power budget. The core problem is a multicast generalization of the multiuser downlink beamforming problem; the difference is that each transmitted stream is directed to multiple receivers, each with its own channel. Such generalization is relevant and timely, e.g., in the context of the emerging WiMAX and UMTS-LTE wireless networks. The joint problem also contains single-group multicast beamforming as a special case. The latter (and therefore also the former) is NP-hard. This motivates the pursuit of computationally efficient quasi-optimal solutions. It is shown that Lagrangian relaxation coupled with suitable randomization/cochannel multicast power control yield computationally efficient high-quality approximate solutions. For a significant fraction of problem instances, the solutions generated this way are exactly optimal. Extensive numerical results using both simulated and measured wireless channels are presented to corroborate our main findings.

This paper links the direct-sequence code-division multiple access (DS-CDMA) multiuser separation-equalization-detection problem to the parallel factor (PARAFAC) model, which is an analysis tool rooted in psychometrics and chemometrics. Exploiting this link, it derives a deterministic blind PARAFAC DS-CDMA receiver with performance close to non-blind minimum mean-squared error (MMSE). The proposed PARAFAC receiver capitalizes on code, spatial, and temporal diversity-combining, thereby supporting small sample sizes, more users than sensors, and/or less spreading than users. Interestingly, PARAFAC does not require knowledge of spreading codes, the specifics of multipath (interchip interference), DOA-calibration information, finite alphabet/constant modulus, or statistical independence/whiteness to recover the information-bearing signals. Instead, PARAFAC relies on a fundamental result regarding the uniqueness of low-rank three-way array decomposition due to Kruskal (1977, 1988) (and generalized herein to the complex-valued case) that guarantees identifiability of all relevant signals and propagation parameters. These and other issues are also demonstrated in pertinent simulation experiments.

In this article, an overview of advanced convex optimization approaches to -multisensor beamforming is presented, and connections are drawn between different types of optimization-based beamformers that apply to a broad class of receive, transmit, and network beamformer design problems. It is demonstrated that convex optimization provides an indispensable set of tools for beamforming, enabling rigorous formulation and effective solution of both long-standing and emerging design problems.

Abstract Chromothripsis is a mutational phenomenon characterized by massive, clustered genomic rearrangements that occurs in cancer and other diseases. Recent studies in selected cancer types have suggested that chromothripsis may be more common than initially inferred from low-resolution copy-number data. Here, as part of the Pan-Cancer Analysis of Whole Genomes (PCAWG) Consortium of the International Cancer Genome Consortium (ICGC) and The Cancer Genome Atlas (TCGA), we analyze patterns of chromothripsis across 2,658 tumors from 38 cancer types using whole-genome sequencing data. We find that chromothripsis events are pervasive across cancers, with a frequency of more than 50% in several cancer types. Whereas canonical chromothripsis profiles display oscillations between two copy-number states, a considerable fraction of events involve multiple chromosomes and additional structural alterations. In addition to non-homologous end joining, we detect signatures of replication-associated processes and templated insertions. Chromothripsis contributes to oncogene amplification and to inactivation of genes such as mismatch-repair-related genes. These findings show that chromothripsis is a major process that drives genome evolution in human cancer.

We generalize Kruskal's fundamental result on the uniqueness of trilinear decomposition of three-way arrays to the case of multilinear decomposition of four- and higher-way arrays. The result is surprisingly general and simple and has several interesting ramifications. Copyright © 2000 John Wiley & Sons, Ltd.