We present a new measurement of the inclusive and differential production cross sections of $J/\psi$ mesons and $b$-hadrons in proton-antiproton collisions at $\sqrt{s}=1960$ GeV. The data correspond to an integrated luminosity of 39.7 pb$^{-1}$ collected by the CDF Run II detector. We find the integrated cross section for inclusive $J/\psi$ production for all transverse momenta from 0 to 20 GeV/$c$ in the rapidity range $|y|<0.6$ to be $4.08 \pm 0.02 (stat)^{+0.36}_{-0.33} (syst) \mu {\rm b}$. We separate the fraction of $J/\psi$ events from the decay of the long-lived $b$-hadrons using the lifetime distribution in all events with $p_T(J/\psi) > 1.25$ GeV/$c$. We find the total cross section for $b$-hadrons, including both hadrons and anti-hadrons, decaying to $J/\psi$ with transverse momenta greater than 1.25 GeV/$c$ in the rapidity range $|y(J/\psi)|<0.6$, is $ 0.330 \pm 0.005 (stat) ^{+0.036}_{-0.033} (syst) ~\mu{\rm b}$. Using a Monte Carlo simulation of the decay kinematics of $b$-hadrons to all final states containing a $J/\psi$, we extract the first measurement of the total single $b$-hadron cross section down to zero transverse momentum at $\sqrt{s}=1960$ GeV. We find the total single $b$-hadron cross section integrated over all transverse momenta for $b$-hadrons in the rapidity range $|y|<0.6$ to be $ 17.6 \pm 0.4 (stat)^{+2.5}_{-2.3} (syst) \mu{\rm b}$.

We report the observation of a narrow state decaying into $J/\ensuremath{\psi}{\ensuremath{\pi}}^{+}{\ensuremath{\pi}}^{\ensuremath{-}}$ and produced in $220\text{ }{\mathrm{p}\mathrm{b}}^{\ensuremath{-}1}$ of $\stackrel{\ifmmode \bar{}\else \={}\fi{}}{p}p$ collisions at $\sqrt{s}=1.96\text{ }\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{V}$ in the CDF II experiment. We observe $730\ifmmode\pm\else\textpm\fi{}90$ decays. The mass is measured to be $3871.3\ifmmode\pm\else\textpm\fi{}0.7(\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t})\ifmmode\pm\else\textpm\fi{}0.4(\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t})\text{ }\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}/{c}^{2}$, with an observed width consistent with the detector resolution. This is in agreement with the recent observation by the Belle Collaboration of the $X(3872)$ meson.