Theoretical ideas and experimental results concerning high-temperature superconductors are reviewed. Special emphasis is given to calculations performed with the help of computers applied to models of strongly correlated electrons proposed to describe the two-dimensional Cu${\mathrm{O}}_{2}$ planes. The review also includes results using several analytical techniques. The one- and three-band Hubbard models and the $t\ensuremath{-}J$ model are discussed, and their behavior compared against experiments when available. The author found, among the conclusions of the review, that some experimentally observed unusual properties of the cuprates have a natural explanation through Hubbard-like models. In particular, abnormal features like the mid-infrared band of the optical conductivity $\ensuremath{\sigma}(\ensuremath{\omega})$, the new states observed in the gap in photoemission experiments, the behavior of the spin correlations with doping, and the presence of phase separation in the copper oxide superconductors may be explained, at least in part, by these models. Finally, the existence of superconductivity in Hubbard-like models is analyzed. Some aspects of the recently proposed ideas to describe the cuprates as having a ${d}_{{x}^{2}\ensuremath{-}{y}^{2}}$ superconducting condensate at low temperatures are discussed. Numerical results favor this scenario over others. It is concluded that computational techniques provide a useful, unbiased tool for studying the difficult regime where electrons are strongly interacting, and that considerable progress can be achieved by comparing numerical results against analytical predictions for the properties of these models. Future directions of the active field of computational studies of correlated electrons are briefly discussed.

One way of making the transition between the quasi-long range order in a chain of S=1/2 spins coupled antiferromagnetically and the true long range order that occurs in a plane, is by assembling chains to make ladders of increasing width. Surprisingly this crossover between one and two dimensions is not at all smooth. Ladders with an even number of legs have purely short range magnetic order and a finite energy gap to all magnetic excitations. Predictions of this novel groundstate have now been verified experimentally. Holes doped into these ladders are predicted to pair, and possibly superconduct.

With the perovskite multiferroic $R\mathrm{Mn}{\mathrm{O}}_{3}$ $(R=\mathrm{Gd},\mathrm{Tb},\mathrm{Dy})$ as guidance, we argue that the Dzyaloshinskii-Moriya interaction (DMI) provides the microscopic mechanism for the coexistence and strong coupling between ferroelectricity and incommensurate magnetism. We use Monte Carlo simulations and zero-temperature exact calculations to study a model incorporating the double-exchange, superexchange, Jahn-Teller, and DMI terms. The phase diagram contains a multiferroic phase between $A$ and $E$ antiferromagnetic phases, in excellent agreement with experiments.

Recent computational studies of models for manganese oxides have revealed a rich phase diagram, which was not anticipated in early calculations in this context performed in the 1950s and 1960s. In particular, the transition between the antiferromagnetic insulator state of the hole-undoped limit and the ferromagnetic metal at finite hole density was found to occur through a mixed-phase process. When extended Coulomb interactions are included, a microscopically charged inhomogeneous state should be stabilized. These phase separation tendencies, also present at low electronic densities, influence the properties of the ferromagnetic region by increasing charge fluctuations. Experimental data reviewed here by applying several techniques for manganites and other materials are consistent with this scenario. Similarities with results previously discussed in the context of cuprates are clear from this analysis, although the phase segregation tendencies in manganites appear stronger.

We discuss an electronic model consisting of two chains or planes, each described by a t-J model, coupled by t'-J' interactions between them. For J'\ensuremath{\sim}J or larger we show the presence of a spin-gap and hole-pair formation upon doping. The model exhibits superconducting pairing correlations away from half filling. We support our claims by numerical studies of the spin gap, the binding energy of holes, and the pairing correlations on finite clusters. The hole-pairing operator is a spin singlet with one member of the pair in each chain or plane. Our model belongs to the universality class of the U0 Hubbard model with \ensuremath{\Vert}U\ensuremath{\Vert}\ensuremath{\gg}t. We argue that this model may be physically realized by doping the orthorhombic compound (VO${)}_{2}$${\mathrm{P}}_{2}$${\mathrm{O}}_{7}$.

The Kondo lattice Hamiltonian with ferromagnetic Hund's coupling as a model for manganites is investigated. The classical limit for the spin of the (localized) $t_{2g}$ electrons is analyzed on lattices of dimension 1,2,3 and $\infty$ using several numerical methods. The phase diagram at low temperature is presented. A regime is identified where phase separation occurs between hole undoped antiferromagnetic and hole-rich ferromagnetic regions. Experimental consequences of this novel regime are discussed. Regions of incommensurate spin correlations have also been found. Estimations of the critical temperature in 3D are compatible with experiments.

The influence of quenched disorder on the competition between ordered states separated by a first-order transition is investigated. A phase diagram with features resembling quantum-critical behavior is observed, even using classical models. The low-temperature paramagnetic regime consists of coexisting ordered clusters, with randomly oriented order parameters. Extended to manganites, this state is argued to have a colossal magnetoresistance effect. A scale ${T}^{*}$ for cluster formation is discussed. This is the analog of the Griffiths temperature, but for the case of two competing orders, producing a strong susceptibility to external fields. Cuprates may have similar features, compatible with the large proximity effect of the very underdoped regime.

Heisenberg antiferromagnetic spin ``ladders'' (two coupled spin chains) are low-dimensional magnetic systems which for S=1/2 interpolate between half-integer-spin chains, when the chains are decoupled, and effective integer-spin one-dimensional chains in the strong-coupling limit. The spin-1/2 ladder may be realized in nature by vanadyl pyrophosphate, (VO${)}_{2}$${\mathrm{P}}_{2}$${\mathrm{O}}_{7}$. In this paper we apply strong-coupling perturbation theory, spin-wave theory, Lanczos techniques, and a Monte Carlo method to determine the ground-state energy and the low-lying excitation spectrum of the ladder. We find evidence of a nonzero spin gap for all interchain couplings ${\mathit{J}}_{\mathrm{\ensuremath{\perp}}}$>0. A band of spin-triplet excitations above the gap is also analyzed. These excitations are unusual for an antiferromagnet, since their long-wavelength dispersion relation behaves as (k-${\mathit{k}}_{0}$${)}^{2}$ (in the strong-coupling limit ${\mathit{J}}_{\mathrm{\ensuremath{\perp}}}$\ensuremath{\gg}J, where J is the in-chain antiferromagnetic coupling). Their band is folded, with a minimum energy at ${\mathit{k}}_{0}$=\ensuremath{\pi}, and a maximum between ${\mathit{k}}_{1}$=\ensuremath{\pi}/2 (for ${\mathit{J}}_{\mathrm{\ensuremath{\perp}}}$=0) and 0 (for ${\mathit{J}}_{\mathrm{\ensuremath{\perp}}}$=\ensuremath{\infty}). We also give numerical results for the dynamical structure factor S(q,\ensuremath{\omega}), which can be determined in neutron scattering experiments. Finally, possible experimental techniques for studying the excitation spectrum are discussed.

In recent years, the study of ladder materials has developed into a well-established area of research within the general context of Strongly Correlated Electrons. This effort has been triggered by an unusual cross-fertilization between theory and experiments. In this paper, the main experimental results obtained in the context of ladders are reviewed from the perspective of a theorist. Emphasis is given to the many similarities between the two-dimensional high-$\rm T_c$ cuprates and the two-leg ladder compounds, including Sr$_{14-x}$Ca$_x$Cu$_{24}$O$_{41}$ (14-24-41) which has a superconducting phase at high pressure and a small hole density. Examples of these similarities include regimes of linear resistivity vs temperature in metallic ladders and a normal state with spin-gap or pseudogap characteristics. Some controversial results in this context are also discussed. It is remarked that the ladder 14-24-41 is the first superconducting copper-oxide material with a non-square-lattice layered arrangement, and certainly much can be learned from a careful analysis of this compound. A short summary of the main theoretical developments in this field is also included, as well as a brief description of the properties of non-copper-oxide ladders. Suggestions by the author on possible experiments are described in the text. Overall, it is concluded that the enormous experimental effort carried out on ladders has already unveiled quite challenging and interesting physics that adds to the rich behavior of electrons in transition-metal-oxides, and in addition contributes to the understanding of the two-dimensional cuprates. However, still considerable work needs to be carried out to fully understand the interplay between charge and spin degrees of freedom in these materials.