Spin-0 fields of arbitrary mass and massless fields of arbitrary spin are considered. The equations governing the fields are the covariant generalizations of the special-relativistic free-field equations. The metric, which is not quantized, is that of a universe with an expanding (or contracting) Euclidean 3-space. The spin-0 field of arbitrary mass is quantized in the expanding universe by the canonical procedure. The quantization is consistent with the time development dictated by the equation of motion only when the boson commutation relations are imposed. This consistency requirement provides a new proof of the connection between spin and statistics. We show that the particle number is an adiabatic invariant, but not a strict constant of the motion. We obtain an expression for the average particle density as a function of the time, and show that particle creation occurs in pairs. The canonical creation and annihilation operators corresponding to physical particles during the expansion are specified. Thus, we do not use an $S$-matrix approach. We show that in a universe with flat 3-space containing only massless particles in equilibrium, there will be precisely no creation of massless particles as a result of the expansion, provided the Einstein field equations without the cosmological term are correct. Furthermore, in a dust-filled universe with flat 3-space there will be precisely no creation of massive spin-0 particles in the limit of infinite mass, again provided that the Einstein field equations are correct. Conversely, without assuming any particular equations, such as the Einstein equations, as governing the expansion of the universe, we obtain the familiar Friedmann expansions for the radiation-filled and the dust-filled universes with flat 3-space. We only make a very general and natural hypothesis connecting the particle creation rate with the macroscopic expansion of the universe. In one derivation, we assume that in an expansion of the universe in which a particular type of particle is predominant, the type of expansion approached after a long time will be such as to minimize the average creation rate of that particle. In another derivation, we use the assumption that the reaction of the particle creation back on the gravitational field will modify the expansion in such a way as to reduce, if possible, the creation rate. This connection between the particle creation and the Einstein equations is surprising because the Einstein equations themselves played no part at all in the derivation of the equations governing the particle creation. Finally, on the basis of a so-called infinite-mass approximation, we argue that in the present predominantly dust-filled universe, only massless particles of zero spin might possibly be produced in significant amounts by the present expansion. In this connection, we show that massless particles of arbitrary nonzero spin, such as photons or gravitons, are not created by the expansion, regardless of its form.

We consider the spin-\textonehalf{} field which satisfies the fully covariant generalization of the Dirac equation. The metric, which is not quantized, is that of an expanding universe with Euclidean 3-space. The field is quantized in a manner consistent with the time development dictated by the equation of motion. Consideration of the special-relativistic limit then provides a new proof of the connection between spin and statistics. In general, there will be production of spin-\textonehalf{} particles as a result of the expansion of the universe. However, we show that in the limits of zero and infinite mass there is no spin-\textonehalf{} particle production. For arbitrary mass, we obtain an upper bound on the creation of particles of given momentum. We treat the case of an instantaneous expansion exactly (but not taking into account the reaction of the particle creation back on the gravitational field). For such an expansion, the created particle density, when integrated over all momenta, diverges as a result of the high-momentum behavior. We also consider the Friedmann expansion of a radiation-filled universe, emphasizing the effect of the initial stage of the expansion. We obtain the asymptotic form of the created particle density for large momenta, and thus show that the particle density, integrated over all momenta, is finite, in contrast to the previous case.

In the theory of a quantized scalar field interacting with the classical Einstein gravitational field, the formal expression for the energy-momentum tensor has infinite expectation values. We propose a procedure for defining, in certain cosmological models, suitable finite expectation values of this tensor, when the mass of the scalar matter field does not vanish. Our method uses the decomposition of the scalar field into modes permitted by the symmetry of the models. The identification of the divergent terms, which are to be subtracted mode by mode from the formal tensor, follows in a natural manner from the identification of physically relevant creation and annihilation operators under conditions of arbitrarily slow (adiabatic) time dependence of the metric. The extension of the results to periods of strong time dependence is accomplished with the aid of the requirement that the four-divergence of the regularized energy-momentum tensor remain zero at all times. The energy-momentum tensor obtained by adiabatic regularization is the same as that obtained by the $n$-wave regularization procedure of Zel'dovich and Starobinsky, although the two methods are conceptually quite different. In this paper we apply the adiabatic-regularization method to the minimally coupled scalar field with positive mass in the Robertson-Walker universes. Later papers will concern extensions to conformal coupling, anisotropic metrics, and massless fields, as well as a possible physical interpretation of the regularization procedure in terms of renormalization of coupling constants in Einstein's equation.

We obtain a momentum-space representation of the Feynman propagator $G(x,{x}^{\ensuremath{'}})$ for scalar and spin-\textonehalf{} fields propagating in arbitrary curved spacetimes. The construction uses Riemann normal coordinates with origin at the point ${x}^{\ensuremath{'}}$ and is therefore only valid for points $x$ lying in a normal neighborhood of ${x}^{\ensuremath{'}}$. We show that the resulting momentum-space representation is equivalent to the DeWitt-Schwinger propertime representation. Our momentum-space representation permits one to apply momentum-space techniques used in Minkowski space to arbitrary curved spacetimes. The usefulness of this representation in discussing the renormalizability of interacting field theories in curved spacetime is illustrated by an explicit renormalization, to second order in the coupling constant, of a quartically self-interacting scalar field theory in an arbitrary spacetime.

In preparation for an investigation of whether field-theoretic effects helped to make the early universe become isotropic, we seek to determine the physical (divergence-free) energy-momentum tensor through which the geometry of spacetime is influenced by a quantized scalar field with conformal ("new improved") coupling to the metric. The cosmological models studied are the Kasner-like (type I) metrics (homogeneous, spatially flat, nonrotating, but anisotropic), and also the isotropic Robertson-Walker metrics. The methods employed have previously been expounded in the context of a minimally coupled scalar field and a Robertson-Walker metric. Three divergent leading terms are extracted from an adiabatic expansion of the formal expressions for the expectation values of the energy density and pressures. In the Kasner case a slight reshuffling of the leading terms in the energy density displays all divergences to be proportional to either the metric tensor or a second-order curvature tensor which vanishes when the spacetime is isotropic; hence a finite energy-momentum tensor remains after renormalization of the cosmological constant and one other coupling constant in a generalized Einstein equation. In the Robertson-Walker cases, because of conformal flatness, there is no divergence beyond the usual quartically divergent constant vacuum energy; when the mass is not zero, however, a finite renormalization of the gravitational constant is suggested. The correctness of the methods is tested by considering a coordinate system in which flat spacetime assumes the form of a Kasner universe: The adiabatic definition of particle number and vacuum, which is basic to our expansion and renormalization methods, is seen to be consistent with the usual flat-space concepts.