We study the supersymmetric extensions of the $O(3)$ $\sigma$-model in $1+1$and $2+1$ dimensions. We show that it is possible to construct non-equivalentsupersymmetric versions of a given model sharing the same bosonic sector andfree from higher-derivative terms.

We present high-precision photometry of five consecutive transits of WASP-18,an extrasolar planetary system with one of the shortest orbital periods known.Through the use of telescope defocussing we achieve a photometric precision of0.47 to 0.83 mmag per observation over complete transit events. The data areanalysed using the JKTEBOP code and three different sets of stellarevolutionary models. We find the mass and radius of the planet to be M_b =10.43 +/- 0.30 +/- 0.24 Mjup R_b = 1.165 +/- 0.055 +/- 0.014 Rjup (statisticaland systematic errors) respectively. The systematic errors in the orbitalseparation and the stellar and planetary masses, arising from the use oftheoretical predictions, are of a similar size to the statistical errors andset a limit on our understanding of the WASP-18 system. We point out that sevenof the nine known massive transiting planets (M_b > 3 Mjup) have eccentricorbits, whereas significant orbital eccentricity has been detected for onlyfour of the 46 less massive planets. This may indicate that there are twodifferent populations of transiting planets, but could also be explained byobservational biases. Further radial velocity observations of low-mass planetswill make it possible to choose between these two scenarios.

We derive some exact results concerning the anomalous U(1)$_A$ symmetry inthe chirally symmetric phase of QCD at high temperature. We discuss theimportance of topology and finite-volume effects on the U(1)$_A$ symmetryviolation characterized by the difference of chiral susceptibilities. Inparticular, we present a reliable method to measure the anomaly strength inlattice simulations with fixed topology. We also derive new spectral sum rulesand a novel Banks-Casher-type relation. Through our spectral analysis we arriveat a simple alternative proof of the Aoki-Fukaya-Taniguchi "theorem" on theeffective restoration of the U(1)$_A$ symmetry at high temperature.

Phenomenologically appealing supersymmetric grand unified theories have largegauge representations and thus are not asymptotically free. Their ultravioletvalidity is limited by the appearance of a Landau pole well before the Planckscale. One could hope that these theories save themselves, before the inclusionof gravity, by generating an interacting ultraviolet fixed point, similar tothe one recently discovered in non-supersymmetric gauge-Yukawa theories.Employing a-maximization, a-theorem, unitarity bounds, as well as positivity ofother central charges we nonperturbatively rule out this possibility for abroad class of prime candidates of phenomenologically relevant supersymmetricgrand unified theories. We also uncover candidates passing these tests, whichhave either exotic matter or contain one field decoupled from thesuperpotential. The latter class of theories contains a model with the minimalmatter content required by phenomenology.