Dessin d'Enfants on elliptic curves are a powerful way of encodingdoubly-periodic brane tilings, and thus, of four-dimensional supersymmetricgauge theories whose vacuum moduli space is toric, providing an interestinginterplay between physics, geometry, combinatorics and number theory. Wediscuss and provide a partial classification of the situation in genera otherthan one by computing explicit Belyi pairs associated to the gauge theories.Important also is the role of the Igusa and Shioda invariants that generalisethe elliptic $j$-invariant.

A formulation of the Green's function method is presented in the n-poleapproximation. Without referring to a specific model we give a general schemeof calculations that easily permits the computation of the "single-particle"Green's function in terms of the energy matrix. A theorem is proved whichstates that the moments of the spectral density function are conserved up tothe order 2(n-l+1), where l is the order of the composite field. A comparisonwith the spectral density approach is also discussed.

We present high-precision photometry of five consecutive transits of WASP-18,an extrasolar planetary system with one of the shortest orbital periods known.Through the use of telescope defocussing we achieve a photometric precision of0.47 to 0.83 mmag per observation over complete transit events. The data areanalysed using the JKTEBOP code and three different sets of stellarevolutionary models. We find the mass and radius of the planet to be M_b =10.43 +/- 0.30 +/- 0.24 Mjup R_b = 1.165 +/- 0.055 +/- 0.014 Rjup (statisticaland systematic errors) respectively. The systematic errors in the orbitalseparation and the stellar and planetary masses, arising from the use oftheoretical predictions, are of a similar size to the statistical errors andset a limit on our understanding of the WASP-18 system. We point out that sevenof the nine known massive transiting planets (M_b > 3 Mjup) have eccentricorbits, whereas significant orbital eccentricity has been detected for onlyfour of the 46 less massive planets. This may indicate that there are twodifferent populations of transiting planets, but could also be explained byobservational biases. Further radial velocity observations of low-mass planetswill make it possible to choose between these two scenarios.

We reformulate Einstein's theory of gravity, isolating the conformal degreeof freedom in a covariant way. This is done by introducing a physical metricdefined in terms of an auxiliary metric and a scalar field appearing throughits first derivatives. The resulting equations of motion split into a tracelessequation obtained through variation with respect to the auxiliary metric and anadditional differential equation for the trace part. As a result the conformaldegree of freedom becomes dynamical even in the absence of matter. We show thatthis extra degree of freedom can mimic cold dark matter.

We investigate the central extensions of the q-deformed (classical andquantum) Virasoro algebras constructed from the elliptic quantum algebraA_{q,p}[sl(N)_c]. After establishing the expressions of the cocycle conditions,we solve them, both in the classical and in the quantum case (for sl(2)). Wefind that the consistent central extensions are much more general that thosefound previously in the literature.

We take advantage of the Sturm-Liouville eigenvalue problem to analyticallystudy the holographic insulator/superconductor phase transition in the probelimit. The interesting point is that this analytical method can not onlyestimate the most stable mode of the phase transition, but also the secondstable mode. We find that this analytical method perfectly matches with othernumerical methods, such as the shooting method. Besides, we argue that onlyDirichlet boundary condition of the trial function is enough under certaincircumstances, which will lead to a more precise estimation. This relaxationfor the boundary condition of the trial function is first observed in thispaper as far as we know.

We associate vertex operators to space-time diffeomorphisms in flat spacestring theory, and compute their algebra, which is a diffeomorphism algebrawith higher derivative corrections. As an application, we realize theasymptotic symmetry group BMS3 of three-dimensional flat space in terms ofvertex operators on the string worldsheet. This provides an embedding of theBMS3 algebra in a consistent theory of quantum gravity. Higher derivativecorrections vanish asymptotically. An appendix is dedicated to alpha primecorrected algebras in conformal field theory and string theory.

We classify possible supersymmetry-preserving relevant, marginal, andirrelevant deformations of unitary superconformal theories in $d \geq 3$dimensions. Our method only relies on symmetries and unitarity. Hence, theresults are model independent and do not require a Lagrangian description. Twounifying themes emerge: first, many theories admit deformations that reside inmultiplets together with conserved currents. Such deformations can lead tomodifications of the supersymmetry algebra by central and non-central charges.Second, many theories with a sufficient amount of supersymmetry do not admitrelevant or marginal deformations, and some admit neither. The classificationis complicated by the fact that short superconformal multiplets display a richvariety of sporadic phenomena, including supersymmetric deformations thatreside in the middle of a multiplet. We illustrate our results with examples indiverse dimensions. In particular, we explain how the classification ofirrelevant supersymmetric deformations can be used to derive known and newconstraints on moduli-space effective actions.