Dessin d'Enfants on elliptic curves are a powerful way of encodingdoubly-periodic brane tilings, and thus, of four-dimensional supersymmetricgauge theories whose vacuum moduli space is toric, providing an interestinginterplay between physics, geometry, combinatorics and number theory. Wediscuss and provide a partial classification of the situation in genera otherthan one by computing explicit Belyi pairs associated to the gauge theories.Important also is the role of the Igusa and Shioda invariants that generalisethe elliptic $j$-invariant.

In this article a first step is made towards the extension ofBritto-Cachazo-Feng-Witten (BCFW) tree level on-shell recursion relations tointegrands and integrals of scattering amplitudes to arbitrary loop order.Surprisingly, it is shown that the large BCFW shift limit of the integrands hasthe same structure as the corresponding tree level amplitude in any minimallycoupled Yang-Mills theory in four or more dimensions. This implies that theseintegrands can be reconstructed from a subset of their `single cuts'. The maintool is powercounting Feynman graphs in a special lightcone gauge choiceemployed earlier at tree level by Arkani-Hamed and Kaplan. The relation betweenshifts of integrands and shifts of its integrals is investigated explicitly atone loop. Two particular sources of discrepancy between the integral andintegrand are identified related to UV and IR divergences. This iscross-checked with known results for helicity equal amplitudes at one loop. Thenature of the on-shell residue at each of the single-cut singularities of theintegrand is commented upon. Several natural conjectures and opportunities forfurther research present themselves.

In the Euclidean TSP with neighborhoods (TSPN), we are given a collection ofn regions (neighborhoods) and we seek a shortest tour that visits each region.As a generalization of the classical Euclidean TSP, TSPN is also NP-hard. Inthis paper, we present new approximation results for the TSPN, including (1) aconstant-factor approximation algorithm for the case of arbitrary connectedneighborhoods having comparable diameters; and (2) a PTAS for the importantspecial case of disjoint unit disk neighborhoods (or nearly disjoint,nearly-unit disks). Our methods also yield improved approximation ratios forvarious special classes of neighborhoods, which have previously been studied.Further, we give a linear-time O(1)-approximation algorithm for the case ofneighborhoods that are (infinite) straight lines.

We reformulate Einstein's theory of gravity, isolating the conformal degreeof freedom in a covariant way. This is done by introducing a physical metricdefined in terms of an auxiliary metric and a scalar field appearing throughits first derivatives. The resulting equations of motion split into a tracelessequation obtained through variation with respect to the auxiliary metric and anadditional differential equation for the trace part. As a result the conformaldegree of freedom becomes dynamical even in the absence of matter. We show thatthis extra degree of freedom can mimic cold dark matter.

We study effective quiver gauge theories arising from a stack of D3-branes oncertain Calabi-Yau singularities. Our point of view is a first principleapproach via open topological string theory. This means that we construct thenatural A-infinity-structure of open string amplitudes in the associatedD-brane category. Then we show that it precisely reproduces the results of themethod of brane tilings, without having to resort to any effective field theorycomputations. In particular, we prove a general and simple formula foreffective superpotentials.

We take advantage of the Sturm-Liouville eigenvalue problem to analyticallystudy the holographic insulator/superconductor phase transition in the probelimit. The interesting point is that this analytical method can not onlyestimate the most stable mode of the phase transition, but also the secondstable mode. We find that this analytical method perfectly matches with othernumerical methods, such as the shooting method. Besides, we argue that onlyDirichlet boundary condition of the trial function is enough under certaincircumstances, which will lead to a more precise estimation. This relaxationfor the boundary condition of the trial function is first observed in thispaper as far as we know.

We associate vertex operators to space-time diffeomorphisms in flat spacestring theory, and compute their algebra, which is a diffeomorphism algebrawith higher derivative corrections. As an application, we realize theasymptotic symmetry group BMS3 of three-dimensional flat space in terms ofvertex operators on the string worldsheet. This provides an embedding of theBMS3 algebra in a consistent theory of quantum gravity. Higher derivativecorrections vanish asymptotically. An appendix is dedicated to alpha primecorrected algebras in conformal field theory and string theory.

We classify possible supersymmetry-preserving relevant, marginal, andirrelevant deformations of unitary superconformal theories in $d \geq 3$dimensions. Our method only relies on symmetries and unitarity. Hence, theresults are model independent and do not require a Lagrangian description. Twounifying themes emerge: first, many theories admit deformations that reside inmultiplets together with conserved currents. Such deformations can lead tomodifications of the supersymmetry algebra by central and non-central charges.Second, many theories with a sufficient amount of supersymmetry do not admitrelevant or marginal deformations, and some admit neither. The classificationis complicated by the fact that short superconformal multiplets display a richvariety of sporadic phenomena, including supersymmetric deformations thatreside in the middle of a multiplet. We illustrate our results with examples indiverse dimensions. In particular, we explain how the classification ofirrelevant supersymmetric deformations can be used to derive known and newconstraints on moduli-space effective actions.

We compute the canonical partition function Z of non-interacting conformalhigher spin (CHS) theory viewed as a collection of free spin s CFT's in R^d. Wediscuss in detail the 4-dimensional case (where s=1 is the standard Maxwellvector, s=2 is the Weyl graviton, etc.), but also present a generalization forall even dimensions d. Z may be found by counting the numbers of conformaloperators and their descendants (modulo gauge identities and equations ofmotion) weighted by scaling dimensions. This conformal operator counting methodrequires a careful analysis of the structure of characters of relevant(conserved current, shadow field and conformal Killing tensor) representationsof the conformal algebra so(d,2). There is also a close relation to masslesshigher spin partition functions with alternative boundary conditions inAdS_{d+1}. The same partition function Z may also be computed from the CHS pathintegral on a curved S^1 x S^{d-1} background. This allows us to determine asimple factorized form of the CHS kinetic operator on this conformally flatbackground. Summing the individual conformal spin contributions Z_s over allspins we obtain the total partition function of the CHS theory. We also findthe corresponding Casimir energy and show that it vanishes if one uses the sameregularization prescription that implies the cancellation of the totalconformal anomaly a-coefficient. This happens to be true in all even dimensionsd >= 2.

A light singlino in the NMSSM can reduce considerably the missing transverseenergy at the end of sparticle decay cascades; instead, light NMSSM-specificHiggs bosons can be produced. Such scenarios can be consistent with presentconstraints from the LHC with all sparticle masses below ~1 TeV. We discusssearch strategies, which do not rely on missing transverse energy, for suchscenarios at the next run of the LHC near 14 TeV.