Dessin d'Enfants on elliptic curves are a powerful way of encodingdoubly-periodic brane tilings, and thus, of four-dimensional supersymmetricgauge theories whose vacuum moduli space is toric, providing an interestinginterplay between physics, geometry, combinatorics and number theory. Wediscuss and provide a partial classification of the situation in genera otherthan one by computing explicit Belyi pairs associated to the gauge theories.Important also is the role of the Igusa and Shioda invariants that generalisethe elliptic $j$-invariant.

We reformulate Einstein's theory of gravity, isolating the conformal degreeof freedom in a covariant way. This is done by introducing a physical metricdefined in terms of an auxiliary metric and a scalar field appearing throughits first derivatives. The resulting equations of motion split into a tracelessequation obtained through variation with respect to the auxiliary metric and anadditional differential equation for the trace part. As a result the conformaldegree of freedom becomes dynamical even in the absence of matter. We show thatthis extra degree of freedom can mimic cold dark matter.

We consider the noncommutative deformation of the Sakai--Sugimoto model atfinite temperature and finite baryon chemical potential. The spacenoncommutativity is possible to have an influence on the flavor dynamics of theQCD. The critical temperature and critical value of the chemical potential aremodified by the space noncommutativity. The influence of the spacenoncommutativity on the flavor dynamics of the QCD is caused by theWess--Zumino term in the effective action of the D8-branes. The intermediatetemperature phase, in which the gluons deconfine but the chiral symmetryremains broken, is easy to be realized in some region of the noncommutativityparameter.

We take advantage of the Sturm-Liouville eigenvalue problem to analyticallystudy the holographic insulator/superconductor phase transition in the probelimit. The interesting point is that this analytical method can not onlyestimate the most stable mode of the phase transition, but also the secondstable mode. We find that this analytical method perfectly matches with othernumerical methods, such as the shooting method. Besides, we argue that onlyDirichlet boundary condition of the trial function is enough under certaincircumstances, which will lead to a more precise estimation. This relaxationfor the boundary condition of the trial function is first observed in thispaper as far as we know.

We associate vertex operators to space-time diffeomorphisms in flat spacestring theory, and compute their algebra, which is a diffeomorphism algebrawith higher derivative corrections. As an application, we realize theasymptotic symmetry group BMS3 of three-dimensional flat space in terms ofvertex operators on the string worldsheet. This provides an embedding of theBMS3 algebra in a consistent theory of quantum gravity. Higher derivativecorrections vanish asymptotically. An appendix is dedicated to alpha primecorrected algebras in conformal field theory and string theory.

We classify possible supersymmetry-preserving relevant, marginal, andirrelevant deformations of unitary superconformal theories in $d \geq 3$dimensions. Our method only relies on symmetries and unitarity. Hence, theresults are model independent and do not require a Lagrangian description. Twounifying themes emerge: first, many theories admit deformations that reside inmultiplets together with conserved currents. Such deformations can lead tomodifications of the supersymmetry algebra by central and non-central charges.Second, many theories with a sufficient amount of supersymmetry do not admitrelevant or marginal deformations, and some admit neither. The classificationis complicated by the fact that short superconformal multiplets display a richvariety of sporadic phenomena, including supersymmetric deformations thatreside in the middle of a multiplet. We illustrate our results with examples indiverse dimensions. In particular, we explain how the classification ofirrelevant supersymmetric deformations can be used to derive known and newconstraints on moduli-space effective actions.

We reconsider gravitational corrections to vacuum decay, confirming andsimplifying earlier results and extending them by allowing for a non-minimalcoupling of the Higgs to gravity. We find that leading-order gravitationalcorrections suppress the vacuum decay rate. Furthermore, we compute minorcorrections to thermal vacuum decay in the SM by adding one-loop contributionsto the Higgs kinetic term, two-loop contributions to the Higgs potential andallowing for time-dependent bounces.

We construct real Jacobi forms with matrix index using path integrals. Thepath integral expressions represent elliptic genera of two-dimensional N=(2,2)supersymmetric theories. They arise in a family labeled by two integers N and kwhich determine the central charge of the infrared fixed point through theformula c=3N(1+ 2N/k). We decompose the real Jacobi form into a mock modularform and a term arising from the continuous spectrum of the conformal fieldtheory. We argue that the Jacobi form represents the elliptic genus of a theorydefined on a 2N dimensional background with U(N) isometry, containing a complexprojective space section, a circle fiber and a linear dilaton direction. Wealso present formulas for the elliptic genera of orbifolds of these models.

In this paper we study the interplay between the recently proposed F-theoryGUTs and cosmology. Despite the fact that the parameter range for F-theory GUTmodels is very narrow, we find that F-theory GUTs beautifully satisfy mostcosmological constraints without any further restrictions. The viability of thescenario hinges on the interplay between various components of the axionsupermultiplet, which in F-theory GUTs is also responsible for breakingsupersymmetry. In these models, the gravitino is the LSP and develops a mass byeating the axino mode. The radial component of the axion supermultiplet knownas the saxion typically begins to oscillate in the early Universe, eventuallycoming to dominate the energy density. Its decay reheats the Universe to atemperature of ~ 1 GeV, igniting BBN and diluting all thermal relics such asthe gravitino by a factor of ~ 10^(-4) - 10^(-5) such that gravitinoscontribute a sizable component of the dark matter. In certain cases,non-thermally produced relics such as the axion, or gravitinos generated fromthe decay of the saxion can also contribute to the abundance of dark matter.Remarkably enough, this cosmological scenario turns out to be independent ofthe initial reheating temperature of the Universe. This is due to the fact thatthe initial oscillation temperature of the saxion coincides with the freeze outtemperature for gravitinos in F-theory GUTs. We also find that saxion dilutionis compatible with generating the desired baryon asymmetry from standardleptogenesis. Finally, the gravitino mass range in F-theory GUTs is 10-100 MeV,which interestingly coincides with the window of values required for the decayof the NLSP to solve the problem of Li(7) over-production.

We present quantum theory of a membrane propagating in the vicinity of a timedependent orbifold singularity. The dynamics of a membrane, with the parametersspace topology of a torus, winding uniformly around compact dimension of theembedding spacetime is mathematically equivalent to the dynamics of a closedstring in a flat FRW spacetime. The construction of the physical Hilbert spaceof a membrane makes use of the kernel space of self-adjoint constraintoperators. It is a subspace of the representation space of the constraintsalgebra. There exist non-trivial quantum states of a membrane evolving acrossthe singularity.