We give a unified division algebraic description of (D=3, N=1,2,4,8), (D=4,N=1,2,4), (D=6, N=1,2) and (D=10, N=1) super Yang-Mills theories. A given(D=n+2, N) theory is completely specified by selecting a pair (A_n, A_{nN}) ofdivision algebras, A_n, A_{nN} = R, C, H, O, where the subscripts denote thedimension of the algebras. We present a master Lagrangian, defined overA_{nN}-valued fields, which encapsulates all cases. Each possibility isobtained from the unique (O, O) (D=10, N=1) theory by a combination ofCayley-Dickson halving, which amounts to dimensional reduction, and removingpoints, lines and quadrangles of the Fano plane, which amounts to consistenttruncation. The so-called triality algebras associated with the divisionalgebras allow for a novel formula for the overall (spacetime plus internal)symmetries of the on-shell degrees of freedom of the theories. We use imaginaryA_{nN}-valued auxiliary fields to close the non-maximal supersymmetry algebraoff-shell. The failure to close for maximally supersymmetric theories isattributed directly to the non-associativity of the octonions.

Many four-dimensional supersymmetric compactifications of F-theory containgauge groups that cannot be spontaneously broken through geometricdeformations. These "non-Higgsable clusters" include realizations of $SU(3)$,$SU(2)$, and $SU(3) \times SU(2)$, but no $SU(n)$ gauge groups or factors with$n> 3$. We study possible realizations of the standard model in F-theory thatutilize non-Higgsable clusters containing $SU(3)$ factors and show that thereare three distinct possibilities. In one, fields with the non-abelian gaugecharges of the standard model matter fields are localized at a single locuswhere non-perturbative $SU(3)$ and $SU(2)$ seven-branes intersect; cancellationof gauge anomalies implies that the simplest four-dimensional chiral$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ model that may arise in this context exhibitsstandard model families. We identify specific geometries that realizenon-Higgsable $SU(3)$ and $SU(3) \times SU(2)$ sectors. This kind of scenarioprovides a natural mechanism that could explain the existence of an unbrokenQCD sector, or more generally the appearance of light particles and symmetriesat low energy scales.

We analytically calculate properties of a strongly coupled stripedsuperconductor, with the charge density wave sourced by a modulated chemicalpotential, in the large modulation wavenumber Q limit. In the absence of ahomogeneous term in the chemical potential, we show that the criticaltemperature scales as a negative power of Q for scaling dimensions \Delta <3/2, whereas for \Delta > 3/2, there is no phase transition above a certaincritical value of Q. The condensate is found to scale as a positive power of Qsuch that the gap is proportional to Q. We discuss how these results change ifa homogeneous term is added to the chemical potential. We compare our analyticresults with numerical calculations whenever the latter are available and findgood agreement.

Supersymmetry provides a well-established theoretical framework forextensions of the standard model of particle physics and the generalunderstanding of quantum field theories. We summarise here our investigationsof N=1 supersymmetric Yang-Mills theory with SU(2) gauge symmetry using thenon-perturbative first-principles method of numerical lattice simulations. Thestrong interactions of gluons and their superpartners, the gluinos, lead toconfinement, and a spectrum of bound states including glueballs, mesons, andgluino-glueballs emerges at low energies. For unbroken supersymmetry theseparticles have to be arranged in supermultiplets of equal masses. In latticesimulations supersymmetry can only be recovered in the continuum limit since itis explicitly broken by the discretisation. We present the first continuumextrapolation of the mass spectrum of supersymmetric Yang-Mills theory. Theresults are consistent with the formation of supermultiplets and the absence ofnon-perturbative sources of supersymmetry breaking. Our investigations alsoindicate that numerical lattice simulations can be applied to non-trivialsupersymmetric theories.

SU(5) $\otimes$ SU(5) provides a minimal grand unification scheme forfermions and gauge forces if there are vector-like quarks and leptons innature. We explore the gauge coupling unification in a non-supersymmetric modelof this type, and study its implications for proton decay. The properties ofvector-like quarks and intermediate scales that emerge from couplingunification play a central role in suppressing proton decay. We find that inthis model, the familiar decay mode $p \to e^+ \pi^0$ may have a partiallifetime within the reach of currently planned experiments.

With the motivation to develop superconformal field theory on S^3, weintroduce a 2n-extended supersphere S^{3|4n}, with n=1,2,..., as a homogeneousspace of the three-dimensional Euclidean superconformal group OSp(2n|2,2) suchthat its bosonic body is S^3. Supertwistor and bi-supertwistor realizations ofS^{3|4n} are derived. We study in detail the n=1 case, which is unique in thesense that the R-symmetry subgroup SO^*(2n) of the superconformal group iscompact only for n=1. In particular, we show that the OSp(2|2,2)transformations preserve the chiral subspace of S^{3|4}. Several supercosetrealizations of S^{3|4n} are presented. Harmonic/projective extensions of thesupersphere by auxiliary bosonic fibre directions are sketched.

We propose a model of the Kondo effect based on the Anti-de Sitter/ConformalField Theory (AdS/CFT) correspondence, also known as holography. The Kondoeffect is the screening of a magnetic impurity coupled anti-ferromagneticallyto a bath of conduction electrons at low temperatures. In a (1+1)-dimensionalCFT description, the Kondo effect is a renormalization group flow triggered bya marginally relevant (0+1)-dimensional operator between two fixed points withthe same Kac-Moody current algebra. In the large-N limit, with spin SU(N) andcharge U(1) symmetries, the Kondo effect appears as a (0+1)-dimensionalsecond-order mean-field transition in which the U(1) charge symmetry isspontaneously broken. Our holographic model, which combines the CFT and large-Ndescriptions, is a Chern-Simons gauge field in (2+1)-dimensional AdS space,AdS3, dual to the Kac-Moody current, coupled to a holographic superconductoralong an AdS2 subspace. Our model exhibits several characteristic features ofthe Kondo effect, including a dynamically generated scale, a resistivity withpower-law behavior in temperature at low temperatures, and a spectral flowproducing a phase shift. Our holographic Kondo model may be useful for studyingmany open problems involving impurities, including for example the Kondolattice problem.

In this work, we formulate a path-integral optimization for two dimensionalconformal field theories perturbed by relevant operators. We present severalevidences how this optimization mechanism works, based on calculations in freefield theories as well as general arguments of RG flows in field theories. Ouroptimization is performed by minimizing the path-integral complexity functionalthat depends on the metric and also on the relevant couplings. Then, we computethe optimal metric perturbatively and find that it agrees with the time sliceof the hyperbolic metric perturbed by a scalar field in the AdS/CFTcorrespondence. Last but not the least, we estimate contributions to complexityfrom relevant perturbations.