The feasibility problem is studied of achieving a specified formation among a group of autonomous unicycles by local distributed control. The directed graph defined by the information flow plays a key role. It is proved that formation stabilization to a point is feasible if and only if the sensor digraph has a globally reachable node. A similar result is given for formation stabilization to a line and to more general geometric arrangements.

The problem of achieving a specified formation among a group of mobile autonomous agents by distributed control is studied. If convergence to a point is feasible, then more general formations are achievable too, so the focus is on convergence to a point (the agreement problem). Three formation strategies are studied and convergence is proved under certain conditions. Also, motivated by the question of whether collisions occur, formation evolution is studied.

Two related problems are treated in continuous time. First, the state agreement problem is studied for coupled nonlinear differential equations. The vector fields can switch within a finite family. Associated to each vector field is a directed graph based in a natural way on the interaction structure of the subsystems. Generalizing the work of Moreau, under the assumption that the vector fields satisfy a certain subtangentiality condition, it is proved that asymptotic state agreement is achieved if and only if the dynamic interaction digraph has the property of being sufficiently connected over time. The proof uses nonsmooth analysis. Second, the rendezvous problem for kinematic point‐mass mobile robots is studied when the robots’ fields of view have a fixed radius. The circumcenter control law of Ando et al. [IEEE Trans. Robotics Automation, 15 (1999), pp. 818–828] is shown to solve the problem. The rendezvous problem is a kind of state agreement problem, but the interaction structure is state dependent.

The paper concentrates on the fundamental coordination problem that requires a network of agents to achieve a specific but arbitrary formation shape. A new technique based on complex Laplacian is introduced to address the problems of which formation shapes specified by inter-agent relative positions can be formed and how they can be achieved with distributed control ensuring global stability. Concerning the first question, we show that all similar formations subject to only shape constraints are those that lie in the null space of a complex Laplacian satisfying certain rank condition and that a formation shape can be realized almost surely if and only if the graph modeling the inter-agent specification of the formation shape is 2-rooted. Concerning the second question, a distributed and linear control law is developed based on the complex Laplacian specifying the target formation shape, and provable existence conditions of stabilizing gains to assign the eigenvalues of the closed-loop system at desired locations are given. Moreover, we show how the formation shape control law is extended to achieve a rigid formation if a subset of knowledgable agents knowing the desired formation size scales the formation while the rest agents do not need to re-design and change their control laws.

This paper introduces a new multi-agent control problem, called an affine formation control problem, with the objective of asymptotically reaching a configuration that preserves collinearity and ratios of distances with respect to a target configuration. Suppose each agent updates its own state using a weighted sum of its neighbor's relative states with possibly negative weights. Then the affine control problem can be solved for either undirected or directed interaction graphs. It is shown in this paper that an affine formation is stabilizable over an undirected graph if and only if the undirected graph is universally rigid, while an affine formation is stabilizable over a directed graph in the d-dimensional space if and only if the directed graph is (d + 1)-rooted. Rigorous analysis is provided, mainly relying on Laplacian associated with the interaction graph, which contain both positive and negative weights.

Abstract The use of magnesium ion (Mg 2+ )-modified biomaterials in bone regeneration is a promising and cost-effective therapeutic. Despite the widespread observation on the osteogenic effects of Mg 2+ , the diverse roles played by Mg 2+ in the complex biological process of bone healing have not been systematically dissected. Here, we reveal a previously unknown biphasic mode of action of Mg 2+ in bone repair. In the early inflammation phase, Mg 2+ primarily targets the monocyte-macrophage lineage to promote their recruitment, activation, and polarization. We showed that an increase in extracellular Mg 2+ contributes to an upregulated expression of transient receptor potential cation channel member 7 (TRPM7) and a TRPM7-dependent influx of Mg 2+ in the monocyte-macrophage lineage, resulting in the cleavage and nuclear accumulation of TRPM7-cleaved kinase fragments (M7CKs). This then triggers the phosphorylation of Histone H3 at serine 10, in a TRPM7-dependent manner at the promoters of inflammatory cytokines like IL-8, leading to the formation of a pro-osteogenic immune microenvironment. In the later active repair/remodeling phase of bone healing, however, continued exposure of Mg 2+ and IL-8 leads to over activation of NF-κB signaling in macrophages, turning the immune microenvironment into pro-osteoclastogenesis. Moreover, the presence of Mg 2+ at this stage also decelerates bone maturation through the suppression of hydroxyapatite precipitation. The negative effects of Mg 2+ on osteogenesis can override the initial pro-osteogenic benefits of Mg 2+ , as we found prolonged delivery of Mg 2+ compromises overall bone formation. Taken together, this study establishes a paradigm shift in understanding the diverse and multifaceted roles of Mg 2+ in bone healing.